Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Теория фазовых переходов" -> 56

Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Теория фазовых переходов — РХД, 2002. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyafazovihperehodov2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 .. 61 >> Следующая

вид
(22? - 1) Gi + 8 mfm = em {m\ln - Im).
Представим в виде
/m = 24m)G2i + 7m,
192
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ 4
где fm такова, что в ее фурье-представлении все функции равны 0 при X =
0, a G21 - собственные гамильтонианы для гауссовского автомодельного
распределения. Положим ат-1 = - С2Ш) (2 In 2)-1 и будем искать 1т в виде:
Ira = s dSm)G" + ?*, diw) = ^m) (2V2( - I)"1.
Тогда
oo
Irn = ---- (<5912 ^ 771"
1=0
Это и есть требуемое выражение.
В связи с построенным е-разложением возникает ряд проблем.
1. Аналитическая природа е-разложения. Описанная только что процедура
нахождения коэффициентов /т носит формальный характер. Неясно,
принадлежат ли коэффициенты tfm, тем более, /т, исходному пространству В.
Кроме того, коэффициенты 1т определены лишь для циклической подполугруппы
{(r)2fe}?L0' а их следует определить для всей полугруппы ШД. Выяснение этих
вопросов упирается в развитие диаграммной техники для получения
коэффициентов 1т и в изучение структуры этих диаграмм.
Другой вопрос - поведение всех рядов в комплексной области переменного е
и, в частности, выяснение аналитической природы асимптотических рядов по
е для критических индексов, отвечающих строящимся негауссовским
автомодельным распределениям.
2. Область притяжения автомодельных распределений. Как уже говорилось
выше, одной из основных проблем теории автомодельных распределений
является выяснение того, каков вид гамильтонианов Н, для которых данное
автомодельное распределение появляется как предельное распределение для
сумм
2 Ч(У)
К у<= дл(эс)
(см. § 5) при к <", вычисляемое на основании предельного распределения
Гиббса для гамильтониана
ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ
193
j3cr Н. В той области значений параметров a, d (см. рис. 5), где
гауссовское распределение устойчиво, естественно ожидать, что при
заданных a, d внутри этой области такими гамильтонианами будут локальные
возмущения квадратичных гамильтонианов 2 U {х1 -
- где ^ W (^)/иа<г, / -непре-
рывная положительная функция на единичной сфере, учитывающая анизотропию
взаимодействия. Такие гамильтонианы не являются гауссовскими из-за того,
что фЫ принимает значения ± 1 или, в несколько более общем случае,
конечное число значений.
Ситуация становится уже не столь ясной в области негауссовских
автомодельных распределений, строящихся с помощью описанных выше е-
разложений. Формальная теория возмущений по параметру е показывает, что
во всех порядках теории возмущений для систем с гамильтонианами, у
которых на бесконечности бинарное взаимодействие с таким же убыванием
и(х) ~ f[j^/\\xTd 1 чт0 и выше, предельные распределения Гиббса
притягиваются к этим негауссовским автомодельным распределениям. Однако
из-за асимптотического характера рядов теории возмущений нельзя исключить
такой возможности, когда происходит экспоненциально малая (по е)
перенормировка показателя степени потенциала. Наиболее вероятно, что это
не так, и перенормировки не происходит, но ситуация в целом не ясна.
Можно надеяться, что прояснение произойдет в результате надлежащего
обобщения и развития техники, использованной при построении негауссовских
решений в случае иерархических моделей.
3. Поведение бифуркационных ветвей. Встанем на точку зрения, согласно
которой не происходит дополнительной перенормировки показателя степени
потенциала. Тогда построенная ветвь негауссовских автомодельных
распределений описывает поведение в окрестности точки ^Сг систем, у
которых взаимодействие на больших расстояниях бинарное, и потенциал
бинарного взаимодействия при d = 1, 2, 3 убывает на бесконечности как
l/rd(3/2+8). Иными словами, при малых в
194
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
критические индексы зависят от е, т. е. от асимптотики убывания
потенциала взаимодействдя. Естественно допустить, что в каждой
размерности d существует такое e*(d), начиная с которого критические
индексы перестают зависеть от показателя степени и будут такими же, как и
в случае короткодействующих потенциалов. Иначе говоря, в каждой
размерности существует
такой показатель степени потенциала у:*{d)=d -f-
начиная с которого системы с такой степенью взаимодействия ведут себя с
точки зрения теории фазовых переходов второго рода как короткодействующие
системы. Не исключено, что e*(d)=,(4-d)/2d. В таком случае формальный ряд
для негауссовского автомодельного распределения содержит гамильтонианы с
экспоненциально убывающим взаимодействием. Если бы этот ряд сходился, то
описываемый им гамильтониан был бы с быстро убывающим взаимодействием, и
тогда он порождал бы автомодельные распределения, возникающие при рсг у
систем с короткодействующим потенциалом. Однако при d = 2 мы получили бы
а* = 2, что расходится с известным результатом для двумерной модели
Изинга, вытекающим из решения Онзагера.
Могут быть и другие, логически допустимые возможности. Например, точка
e*W) может быть точкой жесткой потери устойчивости. Это значит, что при е
< < g*(d) и при рсг появляются автомодельные распределения, принадлежащие
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed