Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
к = О
на О и удовлетворяет (2). Мы покажем, что г непрерывна на О и может быть
продолжена до непрерывной положительной функции на S1.
Пусть - есть и-я подходящая дробь для со, - = Я л Яп
= [fcb к2,...,к"].
Лемма 1 (Данжуа). Существует постоянная С>0, зависящая только от ф и
такая, что при всех п и всех х0
Доказательство. Положим
1
' d
С=Var 1пф
dx
1пф'
dx.
Фиксируем произвольную точку х0, возьмем ZqeS1 и рас-".-1
смотрим ? 1пф'(Zj), Zj= TJvz0. Мы покажем, что У = о
? 1пф'(гу)- ? 1пф'(х;) <С. у=о у=о
Это дает утверждение леммы Данжуа, поскольку из
| П Ф' (j'y) dyo = J ехр | X 1пф'(х;)|</уо=1
s' 1 s'
".-i
следует существование у0, для которой ? 1пФЧуу) = 0.
у=о
Пусть ZoeAi" 11 (х0), \^i^q". Каждому zу, 0^j^q"-i, сопоставим точку
xi+y, лежащую в том же элементе А|+}1)(х0). Для каждого zy, qn - i<j^qn,
возьмем точку xi+y_e>. Нетрудно непосредственно проверить, что интервалы,
концами которых служат точки zy, xi+J, 0 </<<?"-/, и zy, х,+у - ^ и, q"-
i<j^q", не пересекаются. Поэтому
Z 1пф'(2у)- Z 1пф'(ху) у=о У-о у=о
< ? |1пф'(гу)-1пф'(ху)| +
+ ? | In ф' (гу) - 1пф'(ху)|<Уаг1пф' = С.
".-•+1
Если z0eА$п)(х0), 1<г<^п_1, то мы используем соответствие ZjoXj+i при
- г и ZjOXi+]-qm, qn-i<j^qn и такие
же соображения, что и выше. Лемма доказана.
Выведем из леммы Данжуа экспоненциальное (по п) убывание длин А У°.
Положим А,=А,(С) = (1 +ехр{ - С})~1/2. Длина интервала А обозначается,
как обычно, /(А).
Лемма 2. 1(А^(х))^Х2к 1(А^2к\х0)), ОЩк^п.
Доказательство. Интервал Ai"-2)(xo) состоит из (к " + 1) интервалов:
92
Кроме того, А+ i (хо) = А+ V (хо) => А1°(хо). Из леммы Данжуа имеем
ехр{ -СК /(A-+l(x°
^(A^Vl+C".-!)"., 1 + 1 (хо)) 1
ДА^.г^".-!)", 1+1 (Хо))
I П 9'(zj)Jz0<exp{C}.
J j=o
дс-ii ".-2+№--1)""-1 + 1
Поэтому
/(А<")(х0)) <__________/(Af>(x0))______________
/(AV - *"(хо))^/(А?.:,Ч№.-1,(х0))+/(А?*(х))а
1 1
, . ЧА?.-а^-(*.-1)".-1 + 1(хо)) 1+е ° /(А?Чхо))
Лемма 2 доказана.
Следствие 1. Для любого х0eS1
/(A<1',)(x0))<A.',_1.
Следствие 2. Для любого элемента А<и) разбиения ^н(Хо)
/(Д^ЦА."-2.
Доказательство. Если A(") = Aj+'i1)(xo), то наше утверждение следует из
легко проверяемого соотношения A }+_i1)(xo) = A<1',_1)(xi). Если же А(п)
= Afh (х0), то по той же причине Afl 1 (х0) = Ain,(Xj). В обоих случаях
результат вытекает из следствия 1.
Предположим теперь, что мы смогли усилить лемму Данжуа, показав, что для
любой точки х0
9.-1
ехр{ -е"}< П Ф'(х;)<ехр{еи},
( = 0
причем е"->0 при п-> оо.
Лемма 3. Если е" стремятся к нулю настолько быстро,
что Yj ?m+iEm<°o, то г(х) может быть продолжена с О до
т
положительной непрерывной функции на S1.
Доказательство. Возьмем интервал Ai+V' с концами х,-, х| + , .
Внутри этого интервала имеется к"+1 точек
вида х,-++ y9ii, которые служат концами
93
соответствующих элементов разбиения i;"+1(x0). Тогда
Тем самым r(xi+<Iii_,+j9|1)> l^j^kл+1, отличается от r(x,) множителем,
ограниченным сверху и снизу числами ехр{ + ?"(/:"+х- 1) + ел+1}. Поэтому
для любого xseA-',_1)
Это означает, что т(х(), 0, могут быть продолжены до
непрерывной положительной функции г на S1, что и требовалось доказать.
Лемма 3 показывает, что основная стратегия доказательства теоремы 4'
состоит в усилении оценки в лемме Данжуа.
Теперь мы приведем формулировки нескольких лемм и ряд относящихся к ним
замечаний, которые в конце дадут нужное нам утверждение. Всюду ниже пишем
Т вместо Т9.
Возьмем снова ^"(х0), х0 е S1. Пусть для определенности п четно. Тогда
Введем относительные переменные z(г), КК?л+1, на интервалах А|л_1)(хо) и
относительные переменные z (j), 1 ^j^4n-i +1, на интервалах Af](x0) с
помощью формул
Следующая лемма описывает действие Т в относительных переменных.
Лемма4. 1) г(г+1) = г(г) (1+Л,(г(г)-1)), 1^г<^л, где
' + 9.-1+Л.-1
'" = i+"r,-i + (y-l)9.
г?ехр{е"}, 1 "$./<?"+ь
ехр{-ел+1}^
ехр ?m+1emi.
х = X;-z (i) (х;-х,п_t +,), х = xj+,я-z(j) (x,n+j-xj).
94
2) z(j+ l) = z(y) (1 +Aj(z(j)- 1)), 1 <j^gH-u где Xjr4-(P"fv)
Aj=- Г Щу)ау + ^' l^l<const-(/(A<->))1+v.
xj
Эти оценки означают, что r|;, г)j могут рассматриваться как остаточные
члены. Следующая лемма показывает, что z (г), z(y) с высокой точностью
представляют собой дробнолинейные функции z(0), z(0). Обозначим
м(,,-ехр{Х I $$4
Х"+4"-1
"(у)=ЧХ I х-
Лемма5. 1) Для всех Кг^<7"+1
/л = z(0)A/(i')exp{T(i)(zo)}
1 + z (0) (Л/(/) exp {х<0 (zo)} -1) '
где It^ZqJK const- [max/(A?_1,(x0))]v.
2) Для всех 1 - i +1
, г(0)А? (у)exp{т<-,)(z(0))}
1 + z (0) (M(j) exp {т<Л (z (0))} - 1) '
где | t<j)(z(0)) | ^ const -1 max /(A^^Xq)) .
J
Заметим, что M(i), M(j) не зависят от z(0), z(0). Вся зависимость от них
содержится в т<()(г(0)), tU)(z(0)), которые также должны рассматриваться
как остаточные члены. Обозначим /я=тах/(А?',(хо)). Тогда |T(l)|<const
| т<л | ^const Гп.
хО
Ввиду следствий 1, 2 из леммы 2 Теперь мы хотим
выписать выражения для отображений
ТЯ' • Хо]|_+[Х4,_1+4,> Х4Я]>
Т1щ 1 . [Xq, [х4<_1, Х4И_1+4Я]>
используя в окрестности точки х0 перенормированную переменную z = ---.
