Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
координат хт, Число элемен-
тов ^ не превосходит р2к+1. Достаточно показать, что h(Т2, const, где
const не зависит от к.
Заметим вначале, что ?,кУ Т21?,кУ ...У Т 1я^к^к + (2г+1)я. В самом деле,
возьмем х, Т2х, ..., Т2х. Фиксация элемента С разбиения
^V7'_1^V...V7'J'1^ означает фиксацию координат хГ, \t\^k, Как
следует из определения динамики, задание
всех координат х*0>, |.?|<Л+(2г+ 1)л однозначно определяет значение всех
координат х(,т), О^т^п. Поэтому
Я fe V Т21 Ь V... V Т2Ъ) Н(Ь+<2 + D.) < (*+(2г +1) п) In р.
Разделив обе части неравенства на и и устремив и->оо, получим
h(T2, ^)<(2г+1)1пр,
что и требовалось доказать.
Итак, й(7'",7'22)<со. Из свойств энтропии мы знаем, что h(T"'mT2im) =
\m\h(Т"'Т22). Дж. Милнор поставил следующий вопрос: пусть даны
последовательности {л?*}, {n'f}, причем или -оо, п$}-юо и п^/п^-ьс при /-
>оо, где с- постоянная. Спрашивается, существует ли предел
Если этот предел существует и не зависит от выбора последовательностей
{л^}, {л*?}, то его естественно назвать энтропией по направлению,
определяемому значением с. Ниже мы дадим частичный ответ на этот вопрос.
Обсуждается только случай с>0.
Вначале несколько расширим наше пространство. Введем пространство М
последовательностей, заданных на решетке Z2, т. е. {x*,s)}, х^'бЛ, -
оо<л<оо, - oocjcoo. При этом рассматриваемые последовательности таковы,
что х?) = ф(х?гг1), ..., х^+г1*)- Через обозначим по-прежнему сдвиг влево
вдоль горизонтальной оси, а через Т2 обозначим сдвиг на единицу вниз, т.
е. 7'2х?)=х?+1). Достоинство пространства М в том, что теперь Т%
становится автоморфизмом пространства М. Введем в М меру Д, положив для
любого набора х*,"1*, ..., х^
Д{х<''>, ..., х?>}=р{х<*'+'>, ..., х?+,)},
где t выбрано так, что Sj+t^ 0, 1 ^ г. В силу инвариантности
р относительно Т2 правая часть не зависит от t. Легко также видеть, что
энтропия А (Т\' Т22), вычисленная с помощью меры р, равна энтропии А (Г"1
Т2г), вычисленной с помощью меры Д. В общей эргодической теории переход
от эндоморфизма Т2 пространства (М, J(, jjl) к соответствующему
автоморфизму Т2 пространства (М, Л, Д) называется естественным
расширением эндоморфизма (см. [2], [3]). Далее условные энтропии,
условные математические ожидания и т. п. по отношению к мере Д будут
снабжаться знаком ~ (тильда).
Введем еще ряд обозначений. Пусть aeR1, coeR+, /(а, со) есть сегмент,
соединяющий точки плоскости (а, - 1) и (а + со-1, 0), Г(а, со)-полупрямая
у+1=со(х -а), у^О. Ясно, что /(а, со)с:Г(а, со). Через обозначим
разбиение пространства М, получающееся в результате фиксации xj?. Введем
следующие условные энтропии:
Я,(/(а, <о)) = я( V a°'l V V я?<Гв)
\т>а+ш я = 1 т>а - ю
Я, (/(а, (о))=й( V a0)l V V
\т<а+(о я = 1 т<а- ю
Я (/(а, со)) = Яг(/(а, со))+Я,(/(а, со)).
Все эта энтропии конечны, поскольку значения переменных х^ при тя>а+со-
1+г в случае Я, и при ти<а+со-1 - г в случае Яг однозначно определяются
элементом разбиения,
77
стоящим в условии. Определим отображение Q в пространстве сегментов /(а,
со), положив Q(I(a, со)) = /(а + со-1, со).
Лемма 5. Пусть р>0, q>0 взаимно просты. Тогда
ь{пп)=ч^й{а1{1))=я]й{1{ъ,<й))с1ъ
для любого 1=1 (a, qlp).
Доказательство. Значение h(T{T\) равно пределу
й(Г?П)=Шп/?( V V
л-" со \ п = 0 а+оз ln-s^m^ <a+co_1n+i
V V ?й)),со=q/p.
п<0 а + а>
<a+co-1n + i
Используя формулу для условной энтропии, мы можем переписать условную
энтропию под знаком предела в виде суммы:
q- 1
Е н
1 = 0
v
i-t-co 1 <a+0)_1/+i
V
п<1 | т-
v, ап,)=
- со l\^s
q- 1
= Ея
1 = 0
v ао)
1+со <а + а
v v I(r)
п<0 |m-a-co
Покажем, что каждое слагаемое в последней сумме сходится при j->qo к Й (Q
'(I)). Достаточно рассмотреть / = 0, для остальных слагаемых рассуждения
аналогичны. Из определения нашей системы следует, что
Н
V
(0)
v v ?S°l=
л<0 а + а> -
^a+(o~1n + s
=й[ v ao,v v i
a -a+i -
<a-i+r <a + j
(0)
v v ?S°l=
n<0 a + (0_1n-i<m<
<а + а>_1л + .5
= H
;<o)
<a + j
:(n)
n<0 a -i-t-co
<a + i + co_1n
+
+Ж v ?
a -
<a-i+r
(0)
V V ^n) V V ?
n<0 a + a> *л-a + i-
<a + co_1n-(-i <a + i
(0)
В силу инвариантности меры Д относительно 7\ первое слагаемое равно
ж v ао)
- г^/л^О
v v ^<п)
л<0а + а> 1n - 2s^m^
<а + а>-1п
78
При возрастании s эти условные энтропии убывают и сходятся к Нг
(/(a,ja)). Поясним, почему вторые слагаемые сходятся при s-* оо к Hi(I(а,
со)). Это утверждение вытекает из ряда фактов общей теории меры. Заметим
прежде всего, что на основании инвариантности Д относительно Т1 мы можем
рассматривать
На основании теоремы Дуба о сходимости условных вероятностей
Д(х^\ a^w^a + rlx^, n<0, a+co_1n<m)
есть предел Д-почти всюду условных вероятностей
Д(х??\ а<"1^а-(-/-|хЙ), n<0, а + со_1п<ю<а + со_1и-|-Я) (2)
при N-*ao. Поэтому при больших s и s^N^s + k эти условные вероятности
"почти" не зависят от значений х^, а + со_1и + + 2s - r^m^a + (?>~ln + 2s
+ r. Но условные вероятности
Д(х^, a^w^a + rlx^, и<0, а+со_1п<ю^а +
представляют собой линейные комбинации условных вероятностей типа (2) при
