Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть ая, - Ья равны перенормированным
Х°_Х4.-!
95
координатам точек х9и, х9я1+(?п, т. е.
Х0 - Хр х +g.
^л > ^л
Хр Хд Хр Хд
и fn(z)> Ял(2)-выражения для Т\ Т4* '. Из леммы 5
/л(:
g"(z) = - Ь" -
/•M-я | zM(g.)ехр{!<"¦>(-z)} , ,
/п< ) 1 - г(М(9")ехр{т<,"'( -z)} - 1)' ()
1-- )м(9л_.1)ехр-к<','.->)( 1-Z
/~Т7 V. (1-b.). (4)
1+(,_)]-.)
Положим М" - М (q"), = t"(z) = t(,')(-z), т" (z) =
= 1 - - ) и перепишем (3), (4) следующим образом:
V V
, / ч а"+(а" + Ь" М" ехр {т" (z)}) z "'Z' 1 +z(l - М"ехр {т" (z)})
/ ч_ exp{t"(z)})z
^ a" + (M~1 exp {t" (z)} - 1) z
Используя тот факт, что
X_ X
2ф (у) m= О
M"-M" = exp< ?
4я-1
о •/
х_ X,
2ф (у) *
"+"Г1
-Ч1$и=1-
S1
т. е. М"'1 = Мп, окончательно получаем
I \ = ~а" +11 ~b"м" ехР (z)))z
g" a"+(M" exp {x" (z)} - 1) z
Для нечетных n справедливы аналогичные формулы. Однако теперь
"¦-ехрК?о ] х-
96
Дифференцируя (5) и (7), получим d *
- (Т,")(х0)= П Ф'(х.) =/п(0)=(а" + Ь")М"ехр{тл(0)},
"х 1 = 0
Т" (2пв"'1)(хо)= П ф'(х()=г;(0) = ^-^А/пехр{т(0)}.
"X i = o а"
Мы хотим теперь показать, что Мп и (а" + Ь") стремятся к нулю с
экспоненциальной скоростью. Для этого сравним
/" и gn + ]. Обе функции отвечают одному и тому же
преобразованию, но в разных координатах, т. е.
gn+i (z)= --/"( -a"z). а"
Мы используем это соотношение дважды:
g'n+i(0)=f'n(0), (8)
Sn+ 1 (аП+ l)= fn( - anaFI+l) = _ Ьп+1. (9)
a"
Перепишем (8), (9), используя (5), (7):
-- А/п +1 ехр {т" + j (0)} = (а" + b") Af" ехр {т" (0)}, (10)
a"+1
-1+(а" + Ь"М"ехр{т"(-a"a"+1)})a"+1_
~л-7л-77------г-7-------vf\--------- -Dn+i- ОО
1 - (1 - М"ехр{т"(-а"а"+1)})а" а"+1
Соотношение (11) дает
1 -b" + i (a" + b")Af"exp{x"(-a"a", J}
ая+1 1-(1-М"ехр{т"(-а"а"+1)})а"а" + 1'
Подставляя последнее выражение в (10), получим
М" +! ехр {т" +! (0) + т" (- ап а" + х)} =
= [ 1 - (1 - М" ехр {т" (- а" ап + х)}) ая ап+ х ] ехр {т" (0)}.
Обозначим с"=1 -М". Тогда
ся+1-[ехр{тя+1(0) + тя(-аяая+1)-тя(0)}-1]Мя+1 =
= ап ап +1 [с" - М" (ехр {т"(-а" ап + 1)}-1)]
или
ся+1=аяая+1ся + [ехр {тя+1(0) + тя(-аяая+1)-т(0)}-1]Л/я+1-
- [ехр {т" (- а" ап+ х)} -1] М" ап ап+ х.
4 Я. Г. Синай 97
Положим
^в + 1 = [ехр{тв+1(0) + тв(-авав+1)-тв(0)}-1]Мв + 1-
- [ехр {тв (- авав +!)} -1] Л/вавав +,. (12)
Тогда cB + 1=aBaB + 1cB + ?B + i.
Лемма 6. |^B|<const->."v.
Лемма 7. |cB|<const-Vv.
Для \)/в = In Мп мы имеем из леммы 7
|\|rBKconst-Vv (13)
Перепишем теперь (10) следующим образом:
---1 = (а + Ьв) ехр {\)/в + т"(0)-^в+1-тв+1 (0)}.
ап + 1
Если dB = 1 - а" - Ьв, то
= - ав+1 dB + ав +! (ав + Ьв) [ехр {\|гв + т" (0)-
-'l'"+i-TB + i(0)}-l].
Обозначим Хв +1 = (ав + Ьв) [ехр {\|/в + тв(0)-\|/в + 1-тв+1 (0)-1].
Тогда
dB+i = - aB+idB + aB+1xB + i- (14)
Лемма 8. |dB|<const¦X'"'.
Лемма 7 явно показывает, что Т\ записанное в перенормированной
переменной, почти линейно, а лемма 8 показывает, что его производная
близка к 1.
".-1
Лемма 9. ехр{-е"}< ф'(х()<ехрЕв, где е" = const¦Xя'1.
i = 0
Теперь утверждение теоремы следует из леммы 3 и леммы 9.
Оставшаяся часть лекции посвящена доказательствам лемм 4-9.
Доказательство леммы 4. Мы докажем только первое утверждение леммы,
второе доказывается аналогично.
Пусть \i+1n i=au х; = с;, х = Ь;е[а" с,]. Тогда z(/)=--,
Cj
/• I 14 C* + l " bj+1
z(j+1) =-----------, где
Cj + i - a, + i
а( + 1=ф(а;),
bi
bj + i =Ф (b.) = ф (af) + ф' (а,)(Ь,- - a,) + |ф" (y)(b; - y) dy,
ai
C,
с,-+1 = Ф (с,) = ф (af) + ф ' (a.) (cf - af) + f ф " (У) (cf - y) rfy ¦
98 a'
Подставив правые части в выражение для z (/+1), получим z(/+ 1) =
^ф'(а,)(с1-Ь1) +|ф"(у)(с;-у) dy-j ф " (у) (Ъ,-у) dy j
ai ai
j Ф' (a,) (cf - a,) + / ф" (y) (c; - y) rfy)=^-^ [ 1 +
ai
+ ((bi-ai) [ф"(у)(С; -y)dy-(с,--a;) /ф"(y)(b;-y)dy}j
ai ai
ci
ДфЧа;)(С; -а;)(с, -Ь;) + (с, -bj) j- ф"(у)(С; -y)i/yjj =
= z(j)(l-Mi(z(0-l)),
где
1
ф'(а,)(Ь(-а()
ф"(У)(у-а,)^У+-
1
ф'(а()(с; -Ь?)
Ф " (у) (ci У) dy j 1 + ф>(а|)|с._
ai)
Ф"(У)(С.-У)^У
Из условия ф(х)еС легко следует Ь: ь.
1
ф'(аг)(Ь?-а4)
ф"(у)(у-ai)^y-
^Mdy
2Ф'(У) 3
^const(b; -а;)1 + у,
1
Ф'(а|)(с(-b;)
ь,
Таким образом Аг-
ф"(у)(с,-y)dy-
2ф (у)
< const (сг - ai)1
^У + Лй |rii| ^const ¦ (сг -a,)1 + v,
2ф (у)
что и требовалось доказать. 4*
99
Доказательство леммы 5. Снова доказываем только первое утверждение леммы.
Из леммы 4
1 -z(i) 1- z(i- 1)-(z (t - 1)- l)Ai-1z(i- 1) z (i) z(i-l)(l+i4i-,(z(i-l)-
l))
"''""(I + Ai.1 + 0(Af.1)).
l-z(i-l) l-M,-,-z("--l) l-z(i-l) " , " , 2
z(i-l) l + At-t (z(i- 1)- 1) z(f-l) Итерирование этого соотношения дает
1-Z(l) 1 Z (0) j-j , rf(j2\\_
_ 1 -z(0) z(0)
exp | ? ln(l-Mm-l-0(zl?))j =
=XfMX44Xo(4-
1 -z (0)
(15)
z(0) M(i)exp {x(l)(z(0))} ' где T(i>(z(0))= - ? (*\m+0{Al)) и
ж = 0
|T(i>(z(0))|<constY ? (/(АЙ_1)(х0)))1Н
\ m = 1
<const -[max/(AL"_1)(xo))]v- Y /(ДЙ_1>(хоЖ
^const * [ max /(Agj ^(xo))]"-
1 ^m^q
Перепишем (15) следующим образом:
' -1=. 1_z(0)
z(i) z (0) M (i) exp {x(i) (z (0))} '
z (0) M (i) exp {t<1) (z (0))}
z(0 = -;
1 + z (0)(M (0 exp {x(r) (z (0))} - 1 '
что и требовалось доказать.
