Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Continued-Fraction Map//Journal of Statistical Physics.- 1987.- V. 47.-
P. 149; 1988,-V. 50,-P. 331-345.
Интересные обобщения цепных дробей изучались с точки зрения эргодической
теории С. Ито, Г. Накада, С. Танака; см., например, NakadaH. On Ergodic
Theory of A. Schmidt's Complex Continued Fractions over Gaussian Field.-
Preprint.- Keio University, 1987. Теория дробей Фарея излагается,
например, в книге Бухштаб А. А. Теория чисел.- М.: Просвещение, 1966.
Хорошее введение в весь этот круг вопросов содержится в статье Kim S., О
s 11 u п d S. Simultaneous rational approximants for physicists//Phys.
Rev.-1986.-V. A34.-P. 3426-3434.
ЛЕКЦИЯ 10
ГОМЕОМОРФИЗМЫ И ДИФФЕОМОРФИЗМЫ ОКРУЖНОСТИ
В этой лекции мы обсудим свойства одного из простейших классов
динамических систем-гомеоморфизмов окружности. Соответствующая теория
была начата Пуанкаре, Данжуа и в настоящее время излагается во многих
учебниках и монографиях. Поэтому здесь мы в основном остановимся на более
поздних исследованиях.
Предположим, что <р есть строго возрастающая непрерывная функция,
заданная на R1, для которой ф(х+ 1) = <р(х)+1. Она определяет
гомеоморфизм Тч окружности M = S1, действующий по формуле XI->{ф(х)} и
Гфх= {ф(х)}.
Теорема 1 (Пуанкаре). Для каждого х существует предел
lim -^(ф^.фСх)...)),= lim -ф<л,(х) = (c),
л -> со Л v я-"со Л
п раз
не зависящий от х.
Число ю характеризует среднее вращение за один шаг и по этой причине
называется числом вращения. На протяжении этой лекции мы будем
предполагать, что ф 6 С2 (R1), Ф' (х) ^ const = С0 > 0, не оговаривая
этого снова. Заметим, что ф', ф"-периодические функции х.
89
Теорема 2 (Пуанкаре). Если со рационально, (a=p/q, то Г, имеет хотя бы
одну периодическую траекторию периода q и каждая траектория притягивается
к периодической траектории, когда время стремится к +оо.
Эта теорема показывает, что случай Гф с рациональным со не интересен с
точки зрения эргодической теории, и поэтому в дальнейшем рассматриваются
только Гф с иррациональными со.
Теорема 3 (Данжуа). Если со иррационально, то Tv топологически сопряжено
с вращением Ra окружности S1 на угол ю.
Утверждение теоремы означает, что существует такая непрерывная строго
монотонная функция ф, ф(х +1) = ф(х)+1, для которой
Ф(ф(х)) = Ф(х) + ю. (1)
Если у = ф(х) принять за новую координату на S1, то Т9, выраженное в этой
координате, сводится к повороту на угол со, т. е. Tvy=y + a = Rmy.
Возьмем XoeS11 и ее траекторию {хк}, хк=7'фх0. Одна из основных частей
доказательства теоремы 3 состоит в том, что для любого п порядок точек
xk, О^к^п, такой же, как порядок точек х( = {хо + /сю}. Иными словами, хк
находится между хк[ и хкз тогда и только тогда, когда xi находится между
xkj и х(2. Существенная проблема в теории гомеоморфизмов окружности
состоит в выяснении связи между гладкостью <р, свойствами числа со и
классом гладкости приводящего гомеоморфизма ф. Иногда эта проблема
называется проблемой Арнольда. Основное содержание этой лекции посвящено
доказательству упрощенного варианта известной теоремы М. Эрмана.
Теорема 4. Пусть <pe C2 + v при некотором v>0. Напишем разложение со в
непрерывную дробь
<*> = [&!, к2, ..., кп, ...]
и допустим, что const ¦ sa при некотором д>0. Тогда фе С1 (R1).
Рассмотрим функциональное уравнение
относительно неизвестной функции г.
Теорема 4'. В условиях теоремы 4 уравнение (2) имеет строго положительное
непрерывное решение.
90
Покажем, как из теоремы 4' вытекает теорема 4. Уравнение (2) означает,
что г есть плотность инвариантной меры Гф, которую мы можем считать
нормированной. Положим \|/ (х) =
X
= \r{u)du. Тогда \|f (х+1) = ф (х)+1 и для x2>Xi из инвариант-о
ности меры следует
х2 ф (х2)
\1>(х2)-\1"(х1)=|г(н)^н= | г(м)?/н = \|>(ф(х2))-Ф(ф(х1)).
*1 Ф (=Ci)
Это означает, что если у = ф(х) рассматривать как новую координату на S1,
то расстояние между точками, измеренное с помощью у, не меняется в
процессе динамики, т. е. Гф, выраженное в переменной у, есть изометрия,
которая может быть только вращением. Это вращение должно быть поворотом
на угол (о, поскольку число вращения не меняется при гомеоморфных заменах
переменных.
Доказательство теоремы 4'. Вначале мы опишем основные конструкции и дадим
формулировки основных лемм, из которых в конце будет вытекать теорема.
Затем мы докажем эти леммы, приведем несколько исторических замечаний и
дадим соответствующие ссылки.
Так как Гф топологически сопряжено с поворотом Rm, то для Гф можно
построить такую же систему разбиений, как (см. лекцию 9). Подчеркнем, что
разбиения Ъ,п зависели от выбора начальной точки. Сейчас эта зависимость
для нас будет существенна, и мы будем использовать для нее специальное
обозначение. Например, Д^Дх) есть отрезок с концами х и Г""х, Д<л,(х) =
Г;Д\л)(х), ?"(х) и т.д.
Возьмем теперь произвольную точку х0 е 51 и ее полутра-екторию 0 =
{xit}o, xk= ТфХо, которая всюду плотна на S1.
л- 1
Положим г(х) = 1 и г(х")= П (ф'(хп))_1. Тогда г определена
