Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
82.
[9] С ин а й Я. Г., Ха нин К. М. Метод ренормализационной группы в теории
динамических систем//Совещание "Ренормгруппа-86".-Дубна: ОИЯИ, 1987.
[10] SwiatekG. Rational Rotation Numbers for Maps of the Circle//Comm.
Math. Phys.-1988.-V. 119, N 2,-P. 109-128.
ЛЕКЦИЯ 11
ПОРЯДОК ШАРКОВСКОГО
И УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ФЕЙГЕНБАУМА
Около двадцати лет назад у меня было общее ощущение, что структура
одномерных динамических систем относительно проста и может быть понята до
конца, и в то же время результаты, справедливые для одномерного случая,
не имеют естественных многомерных аналогов. Последующие годы показали,
что оба этих ощущения неправильны. Во-первых, здесь были обнаружены новые
удивительные и неожиданные закономерности, и, во-вторых, некоторые из них
естественно переносятся на случай любого числа измерений. В этой лекции
пойдет речь о двух замечательных открытиях в одномерной динамике,
показывающих глубину и красоту всей теории.
Начнем с так называемого порядка Шарковского. Пусть Ф - непрерывная
функция на отрезке /, причем ф(х)е/ для любого хеТ. Тогда мы получаем
непрерывное отображение 7'ф отрезка /, где 7'ф(х) = ф(х). Точка х
называется периодической точкой периода п, если TJx = x и Г?х#х для всех
р, 1 ^р<п. Порядок Шарковского связан с сосуществованием периодических
точек различных периодов.
103
Определение 1. Порядком Марковского называется упорядочение в множестве
целых положительных чисел, имеющее вид
3<5<7<...<2-3<2'5<...<22'3<22-5<...
...< 2я<i ...<i 22<з 2о 1.
Теорема Шарковского. Если Т имеет периодическую точку периода п, то оно
имеет периодические точки всех периодов к о л в смысле порядка
Шарковского.
Следствие. Если ср имеет периодическую точку периода 3, то оно имеет
периодические точки всех периодов.
Доказательство. Мы можем считать, что п, для которого существует
периодическая точка периода п, минимально в порядке Шарковского.
Пусть Г, I"-два интервала. Мы скажем, что Г ср-накрывает /", если ср (/')
з Г. В таком случае найдется подынтервал К с /', для которого ср(К) = /"
и cp(dK) = d/". Мы будем называть К h-интервалом, если не существует К' с
К с теми же свойствами. Мы скажем, что /' ср-накрывает /" п раз, если
существует п попарно непересекающихся Л-интервалов Kj, ..., К", К, с /',
таких, что ср(К,) = /", j=l, ..., п.
Допустим, что Л, /2, ..., /s есть конечное множество непересекающихся
интервалов. А-графом мы будем называть ориентированный граф, вершинами
которого служат интервалы I\, /2, ..., Л, а число стрелок из /г в Ij
равно числу Л-интервалов Iik с для которых ср (/")=/;. Основное свойство
Л-графов, которое мы используем, формулируется в следующей лемме.
Лемма 1. Предположим, что 1ц-*Т12есть замкнутый путь в A-графе. Тогда
существует точка х0 е такая, что T*9x0elh, Более того, в качестве
х0 можно взять периодическую точку периода г. '
Утверждение легко следует из того, что Т\ определяет непрерывное
отображение Л-интервала ГГ1 с Iit на .
Теперь мы сформулируем две основные леммы, из которых выведем теорему
Шарковского. Доказательства лемм будут приведены позже.
Лемма 2. Предположим, что Т9 имеет периодическую точку х нечетного
периода п>\ и не имеет других периодических точек нечетных периодов,
меньших п и больших 1. Пусть А-разбиение отрезка J=[min Orb х, max Orb x]
точками траектории Orbx= (J 7^х. Тогда существует А-подграф
следующего вида:
104
Is
h
Рис. 11.1
Утверждение леммы означает для каждой стрелки существование й-интервала,
который отображается взаимно-однозначно на свой образ, и его нельзя
уменьшить с сохранением этого свойства.
Лемма 3. Если Т9 имеет периодическую точку четного периода, то оно имеет
периодическую точку периода 2.
Для доказательства теоремы Шарковского рассмотрим четыре случая.
1° п - 2т, к-21, 0<1<т. Возьмем ф = (ро...о(р. Если х есть
периодическая точка периода 2т для Т9, то х есть периодическая точка
периода 2m~t+1 для Г+. Тогда на основании леммы 3 Т9 имеет периодическую
точку у периода 2, т. е. Т*у=Т9~1у^у, Т9у=Т9 у=Т9у = у. Покажем, что у
есть периодическая точка периода к для <р. В самом деле, если Т91 у = у
для некоторого kY<k, то тогда к1 = 21', =/, и мы
приходим к противоречию с тем, что Г2'-1 у = Г,1'2'-1-'1 у#у.
2° п-р-2т, р нечетно, р> 1; k-q- 2т, q четно. Используем лемму 2 для
(|r = q>o...o(p. Предположения леммы выпол-
нены, поскольку п минимально. Тогда существует замкнутый
если q<p.
На основании леммы 1 существует точка у0 <= /j в первом случае или точка
у0 е /р _ j во втором случае, для которых
2"
У.= т*Уо = Т'9 2"Уое/,+1, 1 </</"- 1, yi-T92"' Y0el1, p-l^i<q,
105
в первом случае и
у0 е/р-ь T^2my0eIp-2-q + i, i=\,...,q,
во втором случае. В обоих случаях все у;, 0^i<q, различны, У, = Уо-
Остается только показать, что период точки у не может быть меньше q-2m.
Напишем q = qi -2'1, где qi нечетно, и допустим, что период ? равен
ic=ql2h, где q есть делитель q, и 71^11+т. Если /i</i+w, то тогда для
i=q/2 мы будем иметь i-2m = q/2-2m = qi -2h+m~1 =к- г, где г-целое число.
