Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
различных значениях х^, а + со~1и + + 2s - r^m^a + (s>~ln+2s+r, с весами,
зависящими главным образом от переменных х^, где m и и<0 пробегают
относительно небольшую окрестность множества точек a + 2s - r^m^;a +
(?>~1n + r, и = 0. Поэтому (1) при s-*oo сходится к Й(1(а, со)). Тем
самым первая формула в формулировке леммы 5 доказана. Вторая формула из
первой непосредственно следует, поскольку Н(1(Ъ, со)) постоянна на каждом
интервале длины q ~1 значений Ь, где полупрямая Г (Ь, со) не проходит
через точки решетки Z2. При этом Нг непрерывна справа, а Нг непрерывна
слева как функции Ь.
Вернемся теперь к вопросу Милнора. Пусть вначале п(РInf стремится к с
монотонно, т. е. либо nf/nf^c, либо nffnf[с.
Теорема 1. В этих условиях существует предел
<a+(c) 1n + 2s
а + 2s-
<а + 2*
v ао)
+ со ln + 2s; xJJ4, a + 2s - r^m^a+2s)
t-*>y/{nV)2 + {n?)2'
Доказательство. На основании леммы 5
1
|я(/(Ь, СО;)) db,
79
где (?>i=n2lnll>. Первый сомножитель при i-юо стремится к (с2 + 1)~1,2.
Второй сомножитель также сходится к пределу. В самом деле, Н(1(Ь, со,))
=(/(b, coj))+/fj(/(b, со,)), и при любом Ъ каждое слагаемое ограничено и
монотонно по i в силу монотонности n^jnf. Следовательно, lim Я (1(Ь,
со,))
ао
существует, и тем самым теорема доказана.
Приведенные выше рассуждения близко следуют моей статье [4]. Как заметила
К. Парк [5], пределы разбиений
V V П SrB) или V V П Sir-"
я= 1 m>b я - 1 m<b-
COi (0<
при /-юо могут быть, в принципе, различны, в зависимости от того, как со,
сходится к пределу. Если эти разбиения возрастают при i'-юо, то они
сходятся к разбиению
V V J<-n) или V V
л = 1 m>b л=1 m<b---
tOi 0)1
Если же они убывают, то может возникнуть предельное разбиение, большее
соответствующего разбиения. Если такое действительно возможно, то
предел в теореме 1 может
зависеть от способа предельного перехода. Справедлива, однако, следующая
теорема.
Теорема 2. Для почти всех (по мере Лебега) с предел в теореме не зависит
от способа предельного перехода.
Доказательство. Зафиксируем b и рассмотрим
Нг (/(Ь, со)). На любом интервале по со, где разбиение, для
которого вычисляется условная энтропия, не зависит от со, функция Нг(1(Ь,
со)) не возрастает как функция со и равномерно ограничена. Поэтому
существует не более счетного числа значений соДЬ), j= 1, 2, ..., где эта
функция разрывна. Аналогичное утверждение справедливо для Ht (/(b, со)).
Поэтому в пространстве пар (Ь, со) лебегова мера множества тех точек, где
НГ(1(Ъ, со)) или #,(/(Ь, со)) разрывна как функция со, равна 0. На
основании теоремы Фубини для почти всех со множество тех Ь, где #(/(Ь,
со)) разрывно (как функция со), имеет меру 0. Если #(/(Ь, со)) почти
всюду (по Ь) непрерывна в точке со, то предел в теореме 1 не зависит от
способа предельного перехода. Теорема 2 доказана.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
1° Энтропия динамических систем с многомерным временем систематически
изучалась впервые в работе
[1 ] С on ze J. P. Entropie d'un groupe abelien de transformation//Z.
Wahrscheinlichkeitstheorie Verw. Geb.- 1972.- Bd. 25.- S. 11-30.
80
2° Понятие естественного расширения эндоморфизма было введено В. Д.
Рохлиным в его работе
[2] Рохлин В. А. Точные эндоморфизмы пространства Лебе-ra/./Изв. АН
СССР. Сер. мат. 1961.-Т. 25.-С. 499-530. См. также
[3 ] К о р н ф е л ь д И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргоди-ческая
теория.- М.: Наука, 1980.- 384 с.
3° Обсуждение вопроса Милнора см. в статье
[4] S i па i Y a. G. An answer to a question by J. Milnor//Comment
Math. Helvetica.-1985,-V. 60.-P. 173-178.
В этой статье имеется неточность, на которую обратила мое внимание К.
Парк:
[5 ] Park К. Letter (письмо автору).
Изложение в лекции исправлено с учетом этого замечания К. Парк.
В неопубликованной интересной работе Ту вено построен пример двух
коммутирующих автоморфизмов 7\, Т2, для которых ч h(T{T\)
1) •> 1 для любых двух взаимно простых р, q;
у/Р2 + Я2
2) h(TiT'2) = 0, если г, s таковы, что ps-qr^0.
ЧАСТЬ III
ОДНОМЕРНАЯ ДИНАМИКА
В этой части мы рассматриваем динамические системы, отвечающие одномерным
отображениям, т. е., как правило, отображениям отрезка или окружности.
Теория таких отображений содержит много красивых и глубоких результатов.
О некоторых из них и идет речь ниже.
ЛЕКЦИЯ 9
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДРОБИ ФАРЕЯ
Во многих современных исследованиях теории динамических систем большую
роль играют свойства разложений действительных чисел в цепные дроби и
тесно связанные с ними дроби Фарея. Поэтому имеет смысл посвятить
соответствующим вопросам отдельную лекцию. Впоследствии мы неоднократно
будем обращаться к результатам, которые здесь будут установлены.
Возьмем сое [0,1]. Его разложением в цепную дробь называется
представление со в виде
где все ks ^ 1 целые. Это представление обычно записывается в виде со=
[&!, кг, ..., к", ...]. Цепная дробь конечна тогда и только тогда, когда
со рационально. Элементы цепной дроби ks находятся последовательно из
соотношений co = co0,
