Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Современные проблемы эргодической теории" -> 29

Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1955. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremennieproblemietnografii1995.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 68 >> Следующая

для дробной и целой части числа. Мы видим, что процесс образования
непрерывной дроби тесно связан с отображением
Т отрезка [0, 1] на себя, определяемым формулой cot-"
¦ +
кц+.
}, [ ], как всегда, обозначения
82
В частности, 7со= [к2, к3, ..., кп, ...]. Эргодические свойства Т будут
обсуждаться чуть ниже. Сейчас мы обсудим геометрическую конструкцию чисел
к". Напишем
(o=[fci, к2, ..., к", ...],
co" = [fci, к2, ..., к"]=~.
Яп
Число (о" называется л-й подходящей дробью числа ю. Хорошо известно, что
со" осуществляют наилучшие аппроксимации со рациональными числами со
знаменателем, не
превосходящим q", в том смысле, что |со - со" | ^-?-. Числа
ЯпЯп+1
д" связаны друг с другом посредством цепочки соотношений
?п+1=?п+1?п + ?"-1 (1)
с начальными условиями q~i =0, q0-\.
Пусть 51 есть единичная окружность. Обозначим через Ra поворот S1 на угол
со, т. е. Л0)а = а + со (mod 1). В этом обозначении предполагается, что а
е [0, 1). Неравенства
ку ш ^ 1 <{ку +1) со
означают, что 51 может быть покрыта (к у +1) дугами длины со и не может
быть покрыта к у такими дугами. Фиксируем точку О е S1 и обозначим через
Д<°> дугу, концами которой служат точки О и со + 0. Тогда Д|0) = Д'Г1М°\
l^i^ky, представляют собой неперекрыва-ющиеся, примыкающие друг к другу
дуги длины со. Обозначим Д)1* дугу, концами которой служат Юуку и О (см.
рис. 9.1). Отношение длин Д<10), Д (11) равно
, к-±_______________
-М> = fc1 + [fca,-,fc.,...] = rfca> ^ ] = Г(0
со 1
/(А)1') 1-/(АГ)
Мы видим также, что /(Д\1))</(Д\0)). Таким же образом мы можем построить
максимально возможное число
83
примыкающих дуг длины /(Ai1'), начиная с левой границы A(i0) (см. рис.
9.2). Обозначим их число через т. Тогда
те/(А^1))</(А?>))<(/и+1)/(А(1))
или
т
< 1 +,
7to_/(Д^*)
Это показывает, что т = \ - = &2-
... LH
Обозначим через A y оставшуюся дугу. Тогда
/(АН /(А\г>)./(А)'>) 2/( АГ) 1-^2 То
/(М'>) /(ДГ)'/(ДГ) Гсо Гсо *-
Теперь уже ясно, что все к" могут быть построены с помощью
,----* ч О
{ V
I-----------i------------------1-----------------1-1
. , <
А(0) А<1)
д, д,
Рис. 9.2
некоторого варианта алгоритма Евклида. А именно, допустим, что уже
построены дуги А("-1), A 1п), имеющие О своим общим концом и лежащие по
разные стороны О, и
-=Тии> = [кп, кп + 1, ...].
/(ДГ1*)
Начав с конца А^_1), отличного от О, построим множество примыкающих дуг,
равных A i"1, в максимально возможном числе и обозначим оставшуюся дугу
через А<" + 1). Если m есть число таких дуг, то
или
171
w/(A^)</(A(1"-1))<(w+l)/(A^))
Г11 к
L/(ap)J L^J "
/(ДГ'>) /(A<-'>)-fc./(A<">) 1 Г 1 I [ 1 \
/(Д*;*) /(Д'"') Та [r'coj (7'"(oj
Одним из концов каждой дуги А*"' служит О. Покажем, что другой конец есть
R%0. При n= 1, 2 это легко следует из определений. Для произвольного гг
воспользуемся индукцией.
84
Допустим, что для А<1п_1), А<1п) наше утверждение доказано. Из
конструкции и индуктивного предположения вытекает, что первая дуга длины
/ (А *"•), которая имеет одним из своих концов Rl'~lO, может быть
представлена как Л*,_1А<1'1). Последующие дуги имеют вид Л4, ,+4,(А<1п)),
Л4-1+24*(а<1п)), ... ..., Дуга Д<|ч накрывает О. Поэто-
му ее конец, принадлежащий А*"', есть R'?-'+k'**4'0 = R%*'0 ввиду
рекуррентных соотношений (1).
Положим Д<л) = R'~1А*"'.
Теорема 1. Система открытых дуг Ay , 1 <Ay, 1 ь обладает следующими
свойствами:
!) Д<"-1"ПА<"-1" = 0, i^iy
А\\ П А*л) = 0, jl ?=jy
А(У fl A*"-11 = 0 при всех рассматриваемых jv jy
2) U Af_1)U u'A-',) = 51 (modO).
i=i j= l
Доказательство. При n=\, 2 утверждение теоремы следует из определений и
конструкции. Рассуждая по индукции, мы должны рассмотреть А|.п), 1</<дп +
1, А^п+1), l^j^q". Из конструкции также следует, что среди всех дуг А{"\
1 ^j^qn + i, только непересекающиеся дуги A(i44, 0^j<kn+l - 1,
принадлежат А*"-1' и лежат вне Д("+1). Следовательно, все дуги А1п),
не пересекаются с А<1п+1).
Первое непустое пересечение A^'f) A f°#0 происходит только при i=l + q"-
l+kn + lqn = l+qn + l>qn + l. Тем самым А':'ПА<:) = 0 при всех i^i2, 1 "С
, i2<9n+1-
Используя тот факт, что конец А*"', отличный от О, есть
R^O, легко получаем, что А("+ 11 с Д*"1 и Д(п+1) f) А(1П) = 0 при 1
<(<q". Таким образом, все А]п), 1<"<дп+1, не пересекаются между собой и
не пересекаются со всеми Д'" + 1), 1 Остается только показать, что А?+1)
П А*"+1) = 0 при 1 j, j2^qn, jt Ф]Т Это эквивалентно тому, что" Д<1п + 1)
f) А'п + 1) = 0 при всех Но опять-таки, как следует из конструкции,
непустое пересечение A(1n + 1) f) Д*"+1) возможно только при i>qn+l. Тем
самым 1) полностью доказано.
Для доказательства 2) снова используем индукцию. Из
4. 4.-1
индуктивного предположения следует, что IJ А(у~ 11IJ IJ А'п) =
i=i j=i
= Sl (mod0). Заметим теперь, что
A<1n-1) = *"lJ Vl,. 1+I4.UA<1n+1).
1 = 0
85
Поэтому при всех
и
S'=U Af-^U U А<">
i= 1
= ija<"+i>uU и
j=l 1=0
Я. Яа + l
= U Ai" + 1,U и А (mod 0),
что и требовалось доказать.
Обозначим через разбиение окружности S1 на дуги А<-~1), 1 ^i^gn, и Af,
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed