Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда
и V^" = e (modO) (см. лекцию 2). Последнее утверждение
П
в полном объеме будет доказано в следующей лекции. Опишем теперь
своеобразную символическую динамику точек S1, строящуюся при помощи
последовательности разбиений
Возьмем to eS1, не принадлежащую счетному множеству концов всех дуг Д1").
Положим
Если соеД!" 1} при некотором г, 1 < q", то в силу
конструкции
и дуги в правой части последнего равенства не пересекаются. Положим е"
(со) =у, 0 4J<kn + 1, если сое Д^ _+Л_+., и
е"(со) = ?л+1, если (оеД|."+1). Тем самым е"(со)" принимает
кп+ j +1 значений. Легко проверить, что соответствие
соо(е2(со), <?3(со), ..., <?"(со), ...) = е
взаимно-однозначно в том смысле, что разные со имеют
разные символические представления е.
Пусть /-лебегова мера на S1. Она порождает распределение вероятностей в
пространстве последовательностей е. Можно показать, что для типичных со,
например для тех со,
86
е"(со)= - 1, если сое (J Д(л).
1 1
для которых const -пу при некотором у>0, это распределение вероятностей
обладает хорошими свойствами перемешивания. Мы не останавливаемся на этом
подробно.
Лемма. Возьмем любое у> 1. Для почти каждого т можно найти постоянную
С=С(со) такую, что
к"^Спу.
Доказательство. Ввиду леммы Бореля-Кантелли достаточно доказать, что
к"<пу при всех достаточно боль-
_ _ , dm ,
ших п. Пусть ц-инвариантная мера для Т, ап =----------(см.
(1 +м)1п2
лекцию 1). Из инвариантности ц имеем ц {ю I к" 3*пу} = ц {ю I ку >пу} ~
пт
При у > 1 правая часть представляет собой член сходящегося ряда и лемма
Бореля-Кантелли дает нужный результат.
Нетрудно показать, что Т есть точный эндоморфизм
пространства с мерой (S1, р (со) dm), р (со) =---. Близкое
(1 +ю)1п2
утверждение доказывается в лекции 12.
Теперь мы обсудим вкратце дроби Фарея и относящееся к ним дерево Фарея, а
также их связь с теорией цепных дробей. Дроби Фарея иногда используются
при применении метода ренормгруппы в теории динамических систем. Запишем
рациональное число plq в виде (р, q). Суммой Фарея или медианой двух
рациональных чисел (pi, qi) и (р2, <?г) называется рациональное число
(pi+qi, Рг + qi) или (рь qi)@ (r)(Р2, <j2)=(Pl+P2, Я1+Я2)-
Возьмем два простейших числа (0, 1) = 0 и (1, 1) = 1. Соединяющий их
отрезок назовем отрезком нулевого уровня. Взяв медиану от концов этого
отрезка (0, 1)ф(1, 1) = (1, 2), разобьем его на два отрезка первого
уровня. Затем каждый отрезок первого уровня разбиваем на два отрезка
второго уровня, взяв медиану его концов, и т. д. На л-м уровне мы будем
иметь 2й отрезков п-ro уровня. Ясно, что конец каждого отрезка есть
рациональное число. Более того, можно показать, что любое рациональное
число служит концом одного из отрезков какого-либо уровня. При этом
процессе максимальная длина отрезков п-то уровня стремится к 0 при п-юэ.
Используя отрезки Фарея, мы можем построить соответствующую символическую
динамику. А именно, возьмем иррациональное число юе[0, 1]. Полагаем/1(ю)
= 0, если м< 1/2, и /i (оо) = 1 в противном случае. Допустим, что мы уже
87
определили/i (ю), /"-1(00) и сое1п-и где /"-i - один из
отрезков Фарея (и- 1)-го уровня. Тогда /"_! распадается на два отрезка
Г", Гп л-го уровня. Полагаем /" (со) = 0, если со принадлежит левому
отрезку, и/,(ю)= 1 в противоположном случае. Таким образом, со кодируется
бесконечной последовательностью /(oo) = (/i(со), /2(со), ..., /"(со),
...), и это кодирование взаимно-однозначно на множестве иррациональных
чисел.
Введем отображение F, отвечающее построенной символической динамике. А
именно, если a of (со), то F (оо)о(/2 (ю), ...). Нетрудно проверить, что
F (со) = <
со
при оо < 1 /2,
1 -со
2-- при со > 1/2. со
В. JI. Волевич показал мне плотность инвариантной абсолютной непрерывной
меры для F. Она имеет вид
, х 1 1
р(ш) = - + -
со 1 -со 1
Ясно, что |р(оо)сйо=оо. Это связано с тем, что траектория
о
слишком медленно движется в окрестности точек оо = 0, 1. Более интересные
эргодические свойства появляются, если перейти к так называемым
производным отображениям, строящимся для некоторых интервалов. В. JI.
Волевич имеет ряд результатов в этом направлении.
Аппроксимации Фарея тесно связаны с непрерывными дробями. Можно показать,
что концы отрезков и-го уровня отвечают конечным цепным дробям, у которых
сумма элементов к" равна л.
Вспомним наше обозначение А*"1 для отрезка, концами
которого служат О и Я^О, и равенство
*.¦1-1
д("-1)= и л"-1+л-А(;)ид?+1)-
J = 0
Тогда аппроксимациями Фарея, т. е. конечными словами (/1(00), ..., /"
(со)), служат
Рп - 1 Рл Р. +Ря - 1 2р" +Р"-1 (к"+ 1 - \)р"+р"- 1 />" + 1
4"-i' Яп Чп + Чп-1 2qn + 4.-i ' + + Чп + i'
Эти числа являются концами отрезков Л*"-1+-й-Д(").
88
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
Эргодические свойства отображения - > изучались интенсив-
W
но в течение многих лет. Последние результаты касаются анализа убывания
корреляций
da
-У
In 2 - (1 +а))
для различных классов функций; см., например,
Mayer D., R о е р s t о г f f G. On the Relaxation Time of Gauss
