Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство леммы 6. Утверждение леммы 6
легко следует из неравенств М"<ехр-
si
a"-i-a"<l и из неравенства леммы 5.
100
{М4
Доказательство леммы 7. Итерирование (12) дает
)(х0"-/(4?_1,(х0"
= V ?Y П -^Л= V F. /(А(*>( 1 .=1 '
' (Хо)) ' /(А(/_ 1( (?0"
Из леммы 2
/(Д"->(хо))/(АГ1)(хо))^ 2(|_п Кроме того, |^i|<const X,iv. Таким образом,
Я
|с"| <const ¦ Y, A,'v Х,2<"const X,"v,
i= 1
что и требовалось доказать.
Доказательство леммы 8. Неравенства a" + b"<const, \Хп\ <const • Х(tm) и
итерирование (13) дают
что легко приводит к утверждению леммы.
Доказательство леммы 9. Поскольку х0еSi про-извольно, достаточно оценить
величину g'" +1 (0) =
b"+1 М" +! ехр {т" +! (0)}. Мы имеем
а,
и+ 1
К', +1 (0) = ¦-- Мя +! ехр {тя +1 (0)} =
&В+ 1
+ 1 +1 f I . - /л\3
=--------------*ехр {l|fn + ! +ТП+ ! (0)} =
<*я + 1
= 1 + [ехр {v|/" +! + f, +1 (0)} - 1] + (Хн+1 -d")exp {v|/" + i + т" + х
(0)}.
Используя (13) и неравенство леммы 8, получим
1#я +1 (0) - 1К const • A,"v,
что приводит к утверждению леммы.
Тем самым доказательство теоремы Эрмана полностью закончено. Несколько
уточняя приведенные рассуждения, можно показать, что v(/eС1 + v' при
любом v'<v. Если же fc"<const, то v|/eC1 + v.
Технически более сложной является следующая теорема. Теорема 5. Если
<peCr + v при некотором 2, a <const¦ яг, то v|"eCr"ltv при любом v'<v.
Если же fc"<const, то v|/eCr_1 + v.
101
Теорема Эрмана не может быть справедливой для любых иррациональных чисел
вращения. В. И. Арнольд построил пример числа вращения и аналитического
диффеоморфизма S1 с этим числом вращения, приведение которого к повороту
производится при помощи сингулярной функции ф, т. е. такой, что ф' почти
всюду по мере Лебега равна нулю. Изложение этого примера можно найти в [1
]. Первоначальное доказательство Эрмана см. в [2]. Несколько позднее
Иоккос нашел более короткий путь доказательства теоремы Эрмана (см. [3]).
Заметим, что авторы
[2], [3] рассматривали диффеоморфизмы класса С', г^З, но числа вращения
удовлетворяли менее жестким условиям. В случае аналитических
диффеоморфизмов метод Эрмана дает также аналитичность сопрягающего
диффеоморфизма.
Странным и необъяснимым образом почти одновременно и независимо появились
три работы [4], [5], [6], содержащие новый подход к доказательству
теоремы Эрмана. Работа [5] тесно связана с [7]. Кацнельсон и Орнстейн в
[4] получили наиболее сильный результат в данной области. А именно, они
смогли показать, что если к"^const и среС2^1), то ф абсолютно непрерывна.
Все работы [4], [5], [6], [7], [8] можно отнести к так называемому
ренормгрупповому подходу в теории динамических систем (см. [9]).
Достоинство изложенного в этой лекции подхода в том же русле идей связано
с тем, что мы используем в главном порядке приближение наших отображений
с помощью дробно-линейных функций (см. [8]). Это дало возможность
написать нужные нам приближения с более высокой степенью точности. Кроме
того, класс дробно-линейных функций замкнут относительно суперпозиций.
Представление с помощью дробнолинейных функций может быть выписано также
для некоторых классов отображений с особенностями (Ханин).
Метод ренормгруппы является основным средством при изучении приводимости
семейства отображений срр(х) =
= х + р+-sin2nx. Особенность этого случая состоит в том, 2я
что фр(1/2) = 0, т. е. ф является диффеоморфизмом всюду, кроме 1/2.
Оказывается, что это приводит к существенному усложнению задачи о
приводимости к повороту. Здесь возникают новые интересные эффекты, но мы
не будем на этом останавливаться, тем более что математических
результатов пока здесь не так уж много (Эккман, Лэнфорд, Виттвер и др.).
Недавно появилась интересная работа Свентека [10], где показано, что
лебегова мера множества тех значений параметра р, где число вращения
иррационально, равна нулю.
102
ссылки
[1] КорнфельдИ. П., С и н а й Я. Г., Ф о м и н С. В. Эргоди-ческая
теория.- М.: Наука, 1980.
[2] HermanM. Sur la conjugasion differentiable des diffeomorphismes du
cercle a des rotations//Publ. Math. IHES-1979.-V. 49.- P. 5-233.
[3 ] Y о с с о z J. С. Conjugasion differentiable des diffeomorphismes du
cercle dont le nombre de rotation verifie une condition diophantienne//
Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. Ser. 4,-1984. V. 17,-P. 333-359.
[4] KatznelsonY., Ornstein D. The differentiability of the conjugation
of certain diffeomorphisms of the circle.- Ergodic Theory and Dyn.
Systems.-1989.- V. 9, №4.- P. 643-680.
[5 ] S t a r k J. Smooth conjugacy and renormalization for
diffeomorphisms of the circle//Nonlinearity.-1988.-V. 1.-P. 541-575.
[6] KhaninK. М., Sinai Ya. G. A new proof of M. Herman's theorem//Comm.
Math. Phys.-1987.-V. 112.-P. 89-101.
[7] Rand D. Global phase-space universality, smooth conjugaciens and
renormalization. C1+' case//Nonlinearity.-1988.-V. 1.-P. 181 - 202.
[8 ] С и н а й Я. Г., X а н и н К. М. Гладкость сопряжений
диффеоморфизмов окружности с поворотами//УМН.-1989.-Т. 44, № 1.- С. 57-
