Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь сдвиг Маркова в пространстве последовательностей со
={со,}, где со; е Т, X-конечное множество, \\Pij\\=P-матрица вероятностей
перехода, к-стационарное распределение. Тогда Л(Г)= - ? тс,
Доказательство
¦ j
этого факта проводится тем же способом, что и доказательство теоремы 4.
60
Сдвиги Бернулли и сдвиги Маркова, имеющие конечную энтропию, определяются
однозначно следующими свойствами: Т-сдвиг Бернулли тогда и только тогда,
когда существует образующее разбиение ?,eZ, для которого /г(Г) =
Т-сдвиг Маркова тогда и только тогда, когда существует образующее
разбиение ?,eZ, для которого h(T) = = Я(^|^") = Я(^| Г-*1!;). Оба эти
свойства легко вытекают из неравенства Йенсена.
Другой пример автоморфизма с положительной энтропией доставляет групповой
автоморфизм двумерного тора М=Тот2 (см. лекцию 3). Предположим, что Т
задается (2 х 2)-матрицей
значения , | X,11> 1, и Х2, Xi '>,2 = det А. Обозначим
отвечающие им собственные векторы через е2 и ег. В лекции 3 было
показано, что Т имеет конечное марковское разбиение ? = {С 1, ..., Сг} и
изоморфно конечному сдвигу Маркова. Теорема 6. Л(7') = 1п|>.11.
Доказательство. Имеем
Подставляя это выражение в формулу для /г(Г), получаем
Теорема 6 доказана.
Следующий пример показывает, что в ряде случаев значение энтропии можно
найти, не исследуя детально свойств динамики. Рассмотрим биллиарды в
многогранниках Q. В двумерном случае Q - это многоугольник. Биллиардный
поток {S+} соответствует движению точки внутри Q с постоянной скоростью
v, | п | = 1, и упругими отражениями от границы. При таких отражениях
нормальная составляющая скорости меняет знак, а тангенциальная
составляющая
= Я(!;|П = ЯОО;
имеющей два собственных
= -In(c,nr-1cJ)[inp(cinr-1cJ)-inp(ci)].
Л(Г)=-Хр(С;П7'-1С,-)[1пр(С() + 1п|^2| +
+ Ш /(у <"> (С,)) - In / (у <"> (С,)) - 1пр(С,-)] =
= -in|^2|-Xn(cInr-1cJ)in/(y(">(c,-))+
+s И (с\-п Г -1 In / (у (еу)) =-1п|Х2|=1п|Х1|.
6i
сохраняется. Фазовое пространство биллиардного потока есть прямое
произведение Q и Sn_1, где Sn_1 есть единичная (л-1)-мерная сфера, т. е.
M=QxS"~1. Поток {S'} сохраняет меру ц, d\i=dq diо, где dot есть мера
Лебега на S"-1. Приведенное описание годится, разумеется, и для
биллиардов внутри произвольных областей евклидова пространства с кусочно-
гладкой границей (см. лекцию 16).
Теорема 7. A({S'})=0.
Доказательство. Мы проведем подробное доказательство для двумерного
случая. В многомерном случае
Нарисуем замкнутую область Q, ограниченную многоугольником Р, состоящим
из отрезков Ь1г Ь2, ..., Lr (см. рис. 6.1) и вершин и1; ..., иг.
Фазовое пространство М состоит из единичных векторов х, касательных к Q,
т. е. имеющих начало в точках де Q. Рассмотрим конечное разбиение ^={С1;
..., Ci}, элементы которого имеют вид С;= С,- х Аь причем граница dCt
пересекается не более чем с одним отрезком Lk. Здесь А;'-интервал на
окружности возможных направлений а, т. е.
и С; есть область в Q, ограниченная некоторым многоугольником. Мы
покажем, что для каждого такого ^ энтропия h(S1, ^)=0; согласно теореме
3' этого будет достаточно для наших целей.
Для каждого п возьмем окрестности Оп (<ЗС;) границ dCt
радиусов и положим On=\JOn (ЗС,-). Тогда
р(оп(асг))<^,
Здесь и далее const есть число, которое не зависит от п, но, быть может,
зависит от Если
An = {xeM\Skx?0H, О^к^п},
/ . , , const
то, очевидно, \i(A")^l------. Введем также
рассуждения аналогичны.
Рис. 6.1
Нетрудно показать, что р(Д,)^1 - д0 сих пор мы не
п
использовали, по существу, свойств динамики. Используем их теперь,
заметив, что если х е А"[]В" и t/"(x)-окрестность точки
х радиуса -^-т, то каждая точка yeU(x) принадлежит тому же 2 п
самому элементу разбиения ^vS'1^v...v5'"^, что и х.
Действительно, мы можем найти у' такой, что х, у' параллельны и у, у'
выходят из одной и той же точки qeQ. Сначала мы покажем, что х, у'
обладают необходимыми свойствами, и затем докажем это же для у, у'.
Траектории, определяемые х, у', параллельны при условии, что они
отражаются от одних и тех же отрезков границы. Но последнее следует из
включения хеД,. Таким образом, dist(S*x, S*y') = dist(x, у'), и требуемое
свойство следует из того, что хеА". Здесь используется свойство
прямолинейности границы. Расстояние между S'y', S'y растет линейно по t
при условии, что траектории S'y', S'y, O^f^A, отражаются от одних и тех
же сторон L-,. Но это снова следует из включения хеА"[) В". Мы имеем
теперь
tf(?vS"4v ... vS-"?)=-X>(C<,,,)lnp(C<,,,) =
= -1'Р (CSB)) In P (C") -1" p (C") In p (C w ) = ?' + !".
Здесь C!l,)-элементы разбиения ?, v S-1?, v ... v S_n?, и суммирования
(?") производятся по таким С\п), для которых р(С!п)ПЛП^п)>0
(р(С<'')ПЛП5п) = 0). Как следует из
предыдущего замечания, для С!п)еУ ' имеем р(С!"))^--^- и,
1 п
таким образом,
-У' р (С\п)) In р (С ^^ const • In п.
Далее, Х"р(С<">) = ев<р(М\(ЛП Д,)) и
I
* COnSt * fl.
Мы использовали неравенство //(ц)^1п г, где г-число элементов разбиения
