Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Современные проблемы эргодической теории" -> 21

Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1955. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremennieproblemietnografii1995.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 68 >> Следующая

H(^v ...v S~n,^\^v S^,ilr^v... vS-m,'-r-T,'ty^
i= ? #(S~t4l?vS~,'/'^v...vS~m'>~1r4)-
fc = 0
Для каждого А: можно найти такое целое рк, что \kt2--ti |^--
т г
А тогда из 3° следует, что последняя сумма не превосходит ?
H(S~k,^\S~b'l/r),'Z1)= ? H(S^1 r^~fc4l?)- (4)
к=О *=0
Из непрерывности потока {S1} (см. лекцию 1) следует, что для любого ?>0
можно найти такое г, что Я(5т^|^)^е, если | т К1 / г. Следовательно,
сумма (4) может быть сделана
меньше, чем е ¦ п, при условии, что г достаточно велико.
57
Используя (1), (2), (3), (4), имеем - A(S'2) = sup - h(S'2, y^sup-h(S'1,
^r)+-h(S'l) +-.
tl ? 12 11 11 t! 11
Ho e может быть выбрано сколь угодно малым. Следовательно, -A(S<2)<-
h(S'1). Заменяя t\ на t2, получаем также <2 <1
и обратное неравенство. Это дает равенство -h(S',)--h(S'2),
h t2
что и требовалось доказать.
На основании теоремы Г определим энтропию потока {S'} как энтропию
автоморфизма S1.
Теорема 2. Если h(T)>0, то в гильбертовом пространстве L2 (М, М, р) можно
найти бесконечную последовательность нормированных векторов {/,} такую,
что U"Tfi\ Ujfj при \п-т| + |i-j 1^0. Это означает, что спектр оператора
UT содержит счетнократную лебеговскую компоненту.
Следствие. Если Т-эргодический автоморфизм с чисто точечным или
сингулярным спектром, то h(T) = 0.
Доказательство теоремы 2. Если А(7')>0, то существует такое ^eZ, что h(T,
?,) = //(?,!)>0. Обозначим через Ae.Jf (Е,~) множество тех Q -, для
которых Я(^|С5_)>0. Тогда р(Л)>0 и из теории измеримых разбиений следует,
что можно найти функцию х (х)> измеримую относительно для которой
X(х) = 0 для xei;
J х(х)Ф(х|С^_) = 0,
ct-
J X2(x)rfp(x|C6_) = l для 'хеА.
Ci-
Возьмем бесконечную последовательность gt ограниченных нормированных (в
смысле пространства L2) измеримых функций, для которых #,(х) = 0 при хеА,
каждая gt измерима относительно .Ж (?, ") и gt ± gj при i ф j. Положим /,
= X'?i и покажем, что последовательность {/;} обладает всеми нужными
свойствами.
Ясно, что (UnTfi, U'Tfj) = (fi, /у) = 0 при iфj. Рассмотрим (UtA, Urfj) и
будем считать, что п>т. Тогда (U"Tfi, Uffj)=(UT'mfi,fj)- Нетрудно
получить из определений, что U"T~mfj измерима относительно .Ж(?,"), если
п - т>0. А тогда
J t/r"/iW/y(jc)rfn= j Ufmfi'gi j i(#(x|C{.) = 0.
M M\\- r
58
Тот факт, что fj-нормированный вектор, следует из аналогичных
рассуждений. Теорема 2 доказана.
До сих пор мы не рассматривали задачу о вычислении энтропии. Следующая
теорема весьма важна для этой цели.
Теорема 3. Пусть Т-автоморфизм и ?eZ-образующее разбиение, т. е. Л (у
Тк^) = Л. Тогда h(T) = h(T, ?).
Доказательство. Мы должны показать, что для произвольного ?'eZ
справедливо неравенство Л (Г, ?')< <Л(Г, ?). Из свойства 4° получаем, что
1ппЯ(?'| V ТУ) = 0.
т-* оо |/с|$/и
Тогда для любого е>0 можно найти т=т(е), для которого Н(%' | V
\к\^т
Используя 3°, 1°, имеем 4т ff(^vr4'v...vr^)$
Л + 1
<-Я(?' V Г" Ч' v... v Г"Ч' V Тт\ v и +1
vr'4v...vr"4)<
^ л+2/и+1 --1----^v +
л+1 л+2т+1
+-Я(?' v... V 4 Г"Ч' I Тт% v ... v Т-п~т?,). п+1
При фиксированном т первое слагаемое стремится к Л (Г, ?). Используя 2°,
3°, оценим второе слагаемое:
-Я(?' v... v Г~Ч' I ГЧ v... v и+ 1
И+1 к = 0
^in(T-y\ V ГЧ) = Я(4'| V П)^е.
Л+ 1 |/-к\^т |i|^m
Итак, h(T, ^')^h(T, ?)+е. Это неравенство дает, в силу произвольности е,
утверждение теоремы.
Теорема 3 имеет несколько полезных обобщений. Рассмотрим одно из них, не
требующее каких-либо изменений в доказательстве.
59
Теорема 3'. Пусть и U V Гп?,) = ^.
i "
Тогда h(T, ^;)-+Л(Г) при I-+00.
Теорема 3', в частности, применима, когда 1J .Ж(?,,) = ,Ж
i
Перейдем теперь к некоторым примерам вычисления энтропии.
Пусть Т-сдвиг Бернулли, действующий на пространстве М бесконечных в обе
стороны последовательностей
co={(Oj}i", где со,еX и имеет распределение к.
Теорема 4. Если распределение п не дискретно, то
h(T)= оо. Если же п дискретно, т. е. л={л,}, то
h(T)= -?rcfln7if.
i
Доказательство. Будет рассмотрен только случай дискретного распределения;
оставшийся случай предоставляется рассмотреть читателю самостоятельно.
Если X = {х;, 7i, = 7i(xj) и - ?я;1п71;< оо, то рассмотрим образующее
разбиение t, = {Cy, С2, •••}, для которого С, = {со|со0=-х,}. Тогда из
определения меры Бернулли
tf(?v r~4v... v T-nk) = H(Q + H{T-ll) + ...+H{T-"l) =
={п+\)Н{Ъ),
что и дает требуемый результат. Если же - ?л;1п7^=оо, то рассмотрим
возрастающую последовательность разбиений Ь,Г={С1, С2, ..., с}, где Cj =
{co|co0 = Xi} для 1<г<г и Сг = = {соjсо0 = Ху при j^r]. Теперь, чтобы
получить искомый результат, достаточно применить теорему 3'. Теорема 4
доказана.
Теорема 5. Если Т\ Т" - сдвиги Бернулли, которым отвечают дискретные
распределения п', п", и 7t;In тс ¦ ф
л ¦' 1п л", то Т и Т" не изоморфны. В частности, если n'i=\jr', 1 и
7i;'= 1 /г", 1<7^г", г'фг", то соответст-
вующие сдвиги Бернулли не изоморфны.
Если h(T') = h(T"), то Т' и Т" метрически изоморфны. Это важное
утверждение было доказано Д. Орнстейном (см. 3° в конце лекции).
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed