Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Современные проблемы эргодической теории" -> 24

Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1955. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremennieproblemietnografii1995.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 68 >> Следующая

Доказательство теоремы 1' принадлежит М. С. Пинскеру (им не опубликовано,
частное сообщение).
2° Энтропийная теория динамических систем излагается во многих
монографиях, например:
[3] Биллингсли П. Эргодическая теория и информация.- М.: Мир, 1969,-238
с.
[4] Walters P. Ergodic Theory. Introductory Lectures. Lecture Notes in
Mathematics, v. 458.- Berlin: Springer-Verlag, 1975.
[5] Корнфельд И. П., Синай Л. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория.-М.:
Наука, 1980.-384 с.
3° Теория Орнстейна изложена в его книге
[6] OrnsteinD. Ergodic Theory, Randomness and Dynamical Systems.-New
Haven and London: Yale University Press, 1970. (Pyc. пер.: ОрнстейнД.
Эргодическая теория, случайность и динамические системы. Серия:
Математика. Новое в зарубежной науке.- М.: Мир, 1978.)
ЛЕКЦИЛ 7
ТЕОРЕМА БРЕЙМАНА, РАЗБИЕНИЕ ПИНСКЕРА,
А-СИСТЕМЫ, ТОЧНЫЕ ЭНДОМОРФИЗМЫ
Мы докажем сейчас важную теорему Бреймана, обобщающую более раннюю
теорему Шеннона-Мак-Миллана. Предположим, что Т-эргодический автоморфизм
пространства с мерой (М, М, |г) и ^-конечное разбиение. Для любого хеМ
обозначим через С"(х) элемент разбиения ?,v T~1?,v ...v Т~я?" содержащий
точку х.
66
Теорема 1 (Брейман; см. [1]). Для п. в. х lim -1пр(С"(х)) = - А (Г, ?).
Л-Со"
Это утверждение показывает, что для большинства С" их меры р(С") в
некотором слабом смысле одинаковы и энтропия характеризует рост числа
типичных элементов разбиения ... v при я-юо.
Доказательство. Имеем
р (С, (х)) = р (Q (х) | Ст - ч v у г-5 М)х
xp(Q(Tx)|Cr-4v уГ_ч(Гх)) ... р(С,(Г"х))
И
lnp(C"(x)) = ? g,~k(T*x), (О
к = О
где ^m(x) = lnp(C?(x)|Cr-,4v уГ -4(х)). Согласно теореме Дуба lim
^(x)=^(x) = lnp(Q(x)|Cr-4v уГ-Чу (х)) =
т-*оо
= lnp(Q(x)|Q-(x)) почти всюду. Мы уже отметили, что g{x)eLl(M, М,р),
Л(Т, ?)=-Js(x)</p(x).
Из (1) следует
^lnp(C"(x)) = ^ ? *(Г*Х)+^ I (г"-*(7'*х)-^(7'*х)).
" л*=0 Пк=О
Теорема Биркгофа-Хинчина утверждает, что первое слагаемое стремится к -
А(Г, ?). Поэтому мы должны доказать, что второе слагаемое стремится к
нулю почти всюду.
Положим G"(x) = sup|g(x)- gm(x)|. Тогда можно написать
Однако Gn (х)->0 п. в. Кроме того,
Gn (х) < | g (х) | + sup | gm (х) |.
Если мы покажем, что sup | (х) | е L1 (М, М, р), то это даст
требуемый результат, поскольку будет означать, что
lim J GH (х) ^р(х) = 0.
N-~* 00
Лемма 1. p{x|sup|gm(x)|>X.}<re_\ где г равно числу
элементов разбиения t,.
Доказательство. Введем множества Ек =
= {х| max |г;(х)|<Х., |g*(x)|>X.}. Они попарно не пересекаются 0 <;<*
И
ц^ПС!}*
I р{С1|7'-1С1_.П-П7'-*С|-_4}х
с, п Т-1 С,., n-П Г-С,_, с Et П с,
xp{7'-1Ci_in...n7'-*CiJ<e-\ а тогда р {?*} = ^ р {?* П С;} < ге Лемма
доказана.
I
Из леммы немедленно следует, что функция sup | gm (х) | интегрируема. Это
полностью доказывает теорему Бреймана. Введем новое разбиение п(Т)= V ?.
Это обозначение
41*(Т," = 0
принято в честь М. С. Пинскера, в статье которого [2] указанное разбиение
появилось впервые. Разбиение л (Г) есть максимальное разбиение с нулевой
энтропией. Ясно, что Тп(Т) = п(Т). В случае потоков я(5') не зависит от
t. Оно обозначается я ({?'}). Для него 5тя({5'}) = я({5'}) при всех т, -
сю <т< сю.
В нашей совместной работе с В. А. Рохлиным [3 ] доказана следующая
теорема.
Теорема 2. Для каждого автоморфизма Т существует измеримое разбиение
обладающее следующими свойствами:
1) 2) V ГЧ=е;
п
3) А ТЧ = к{ТУ, 4) Н{П\$ = к{7).
68
Если разбиение t,' удовлетворяет 1), 2), то Л 7'"^'^л(7'). Если h(T) <00
и разбиение Ъ," удовлетворяет 1), 2), 4), то Л Тя$" = к(Т).
л
Аналогичная теорема для потоков была доказана Гуревичем [4] и Бланшаром
[5] на основании одного результата Рудольфа [6 ].
Сейчас мы введем важное понятие.
Определение 1. Автоморфизм Т называется К-авто-морфизмом, если существует
разбиение Ъ, такое, что
1) 7^>?; 2) V Тп^ = е; 3) A T% = v.
п п
Определение Г. Поток {5'} называется К-потоком, если существует разбиение
Ъ, такое, что
1) при всех />0;
2) VS% = e;
t
3) V S% = v.
t
Напомним, что е есть самое мелкое разбиение на отдельные точки, a v есть
самое крупное разбиение, единственным элементом которого является М.
Буква "К" используется в честь А. Н. Колмогорова, который ввел эти
определения в первой статье по энтропии динамической системы (см. ссылки
к предыдущей лекции).
Из теоремы 2 немедленно следует, что Т есть ^-автоморфизм тогда и только
тогда, когда ji(7') = v. То же утверждение также верно и для потоков.
Теорема 3. 1) Каждый К-aemoморфизм имеет счетнократный лебеговский
спектр; 2) Т является К-автоморфизмом тогда и только тогда, когда Тт есть
К-автоморфизм при некотором т; 3) Т обладает перемешиванием.
Доказательство. Второе утверждение может быть легко выведено из теоремы
2, а третье утверждение следует из первого.
' Чтобы доказать первое утверждение, обозначим через Нк подпространство
пространства L2(M, М, р), порожденное функциями, измеримыми относительно
- со <к< со.
Тогда
ь2{м, м, р)=(r) ? и?{нкен°).
- ао
69
Уже было показано, что <Цт(Я1(c)Я°)=ао (см. теорему 2 предыдущей лекции).
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed