Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
50
группы М. Для каждого %еМ' мы имеем х(а<+*)=хЫ'Х(а")> т. е. x(at) = eiu-
В результате мы получаем функцию Хх, определенную на М'. Из группового
свойства вытекает тот факт, что Хг есть гомоморфизм М' в R1.
Теорема 7. Поток {S*} эргодичен тогда и только тогда, когда является
мономорфизмом М' в R1, т. е. Хх отображает группу М' взаимно-однозначно
на ее образ.
Доказательство. Если ядро отображения Хх не тривиально, то существует
нетривиальный характер %0, для которого \о = 0. Это в свою очередь
означает, что %о - инвариантная функция, т. е. поток {S*} неэргодичен.
Пусть теперь Хг есть мономорфизм и heL2(M, М, ц) -инвариантная функция.
Тогда Л = ?сх-х и
1/'Л=Хсх<А'х = ?схХ (П.в.)5
т. е. сх = 0, если только х /1- А это и требовалось доказать.
Точно так же, как и в случае автоморфизмов, можно показать, что поток
{S1} есть поток с чисто точечным спектром и Лрр ({?'}) = ЦМ'), т. е.
APP({S'}) является множеством чисел Хх.
Теорема 8. Для каждой счетной подгруппы AciR1 существует эргодический
поток {S*} с чисто точечным спектром такой, что APP({S'}) = A.
Доказательство. Пусть М-группа характеров группы Л, которая по теореме
двойственности Понтрягина есть локально-компактная абелева группа, т-ее
мера Хаара. Рассмотрим однопараметрическую подгруппу {а,} в М, для
которой а,(Х) = е2кШ. Поток группы сдвигов вдоль подгруппы {а,}
удовлетворяет всем необходимым условиям, что доказывает теорему.
Следствие. Каждый эргодический поток {S*} с чисто точечным спектром
изоморфен потоку групповых сдвигов вдоль некоторой компактной абелевой
группы.
Сейчас мы рассмотрим один важный пример. Возьмем к рационально
независимых чисел (оь ..., to*, т. е. таких, что
к
равенство ? "*,(о( = 0 с целыми {т,\ возможно только при
i = 1
к
mi =... =тк = 0. Рассмотрим подгруппу Л = { ? m.-coJciR1.
1-1
Условие рациональной независимости означает, что Л изоморфна обычной
решетке Z\ Группа характеров Z* есть ^-мерный тор Тог*. Введем
циклические координаты срь ..., ср* на этом торе и поток {S'}, S'(cpb
..., cp*) = (cpi +(М, ..., ср* + ом). Тогда {S1} является потоком с чисто
точечным спектром на Тог*.
51
Этот пример важен в связи с понятием интегрируемой системы в классической
механике и известной КАМтеории, где такие потоки действуют на
эргодических компонентах. Допустим, что имеется гамильтонова система с п
степенями свободы, у которой функция Гамильтона Н(ру,..., р": qy,... ...,
q")-H(p, q). В некоторых случаях эта система имеет еще и (л-1) других
интегралов движения Iy(p, q), ..., /"_у(р, q) таких, что все интегралы
1=Н, 1у, ..., 1 находятся
в инволюции, т. е. все скобки Пуассона {7(, /,}= 0. Геометрически это
означает, что если рассмотреть гамильтоновы потоки, порожденные функциями
Д, 0<А:<и - 1, то они коммутируют между собой. Динамические системы,
отвечающие таким Н, называются интегрируемыми потоками. Имеется много
важных примеров интегрируемых систем. Некоторые из них были открыты
совсем недавно с помощью так называемого метода обратной задачи теории
рассеяния.
Хорошо известна теорема Лиувилля-Арнольда, утверждающая, что при
выполнении некоторых условий невырожденности фиксирование значений
интегралов в инволюции 70=const0, A =constb ..., 7"_1 = constn_1
определяет инвариантное подмногообразие исходного гамильтонова потока.
Если это подмногообразие компактно, то оно является тором, а
индуцированный поток изоморфен потоку сдвигов на и-мерном торе. Можно
сказать также, что в типичной ситуации все (modO) эргодические компоненты
интегрируемого гамильтонова потока являются потоками на торах с чисто
точечным спектром. Это и объясняет важность динамических систем с чисто
точечным спектром. Основная теорема теории КАМ утверждает, что при малом
возмущении интегрируемой гамильтоновой системы в фазовом пространстве
остается множество большой меры, состоящее из инвариантных п-мерных
торов, на каждом из которых гамильтонова система изоморфна потоку с чисто
точечным спектром.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
Изложение в этой лекции следует монографии
[1] КорнфельдИ. П., СинайЯ. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория.- М.:
Наука, 1980.
Теорема фон Неймана изложена в его работе
[2] Neumann J. von. Zur Operatorenmethode in der Klassischen Mechanik /'/
Ann. Math.-1932.- V. 33,-P. 587-642.
Теорему Лиувилля-Арнольда можно найти в книге Арнольда
[3] Арн ольдВ. И. Математические методы классической механики.-2-е изд.-
М.: Наука, 1979.
ЧАСТЬ II
ЭНТРОПИЙНАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Энтропийная теория динамических систем представляет собой практически
завершенный раздел общей эргодической теории. В этой части мы излагаем
основные факты этой теории, достаточные для большинства приложений.
ЛЕКЦИЯ 6
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ
СВОЙСТВА ЭНТРОПИИ. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ЭНТРОПИИ
Понятие энтропии возникает в статистической механике, теории информации и
теории динамических систем. Во всех этих случаях за исключением одного,
встречающегося в теории кинетического уравнения Больцмана, это понятие
