Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Это и дает нужный результат. Теорема 3 доказана.
Аналогичное утверждение справедливо для потоков, но доказательство его
более сложно. Справедлива
Теорема 4. Поток {S1} является К-потоком тогда и только тогда, когда по
крайней мере один автоморфизм 5Т есть К-автоморфизм.
Важность понятия К-системы состоит в том, что в целом ряде случаев проще
доказывать сразу ^-свойство системы и из этого выводить эргодичность и
исследовать свойства перемешивания.
Рассмотрим теперь эндоморфизм Т пространства с мерой (М, М, р). Введем
убывающую последовательность разбиений ? $г Г ~1 ? Г ~2? >... > Г ~"? ...
Определение 2. Эндоморфизм Т называется точным
эндоморфизмом, если Л T~nz = \.
П
Точные автоморфизмы были введены В. А. Рохлиным (см. [7 ]). Они являются
аналогами ^-автоморфизмов. В частности, точные автоморфизмы эргодичны,
имеют счетно-кратный лебеговский спектр и положительную энтропию.
В качестве примера возьмем M=Sl и рассмотрим отображение Т, заданное
строго монотонной С 2-функцией f(x),f(x+l)=f(x) + d, где d> 1-целое
число, /(0)=0, /'(х)>0 и 7'х={/(х)}, где {•}-дробная часть. Ясно, что Т
непрерывно. Допустим, что Т имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру
р с плотностью р (х) ^ 0 (см. лекцию 12).
Введем разбиения каждый элемент которых есть такой отрезок Л|г\ что Тт
отображает А\г) взаимно-однозначно на всю окружность S1 (включая концы).
Число элементов разбиения ^ равно dr. Такие отрезки легко строятся
индуктивно.
Теорема 5. Если ? тах/(Л|г,)< оо, где I-обычная длина,
г i
mo Т-точный эндоморфизм.
Доказательство. Каждый элемент разбиения Т~"е состоит из d" точек и имеет
вид Т~"х для некоторого х е 51. Равенство Т ~"z v = ? означает, что для
любого х пересечение ASr) П Т ~"х состоит в точности из одной точки.
Предположим, что существует А с Jl{!\ Т~"е), для которого 0<р(Л)<1.
Покажем, что для любого 8>0 можно найти
70
п0 и множества A'"o, А"о, такие, что
|цй;,")-ц(л)1<5, |ц(^:о)-(1-ц(Л))|<8, р(Я)>1-8,
и если Ct <= А' то
^"о "0'
р(с0
--1
<8;
если <= А Ло, то
если Q с5, то
иЙПСц)
; г^< 8;
p(cJ
p(cJ
1-8 " HSl-i; '<<У
где К(С^ ) с С?> -множество точек х, принадлежащих отрезку С? , для
которых выполнено неравенство
pfrMQj
J Р iy)dy
<8.
Мы проведем построение лишь множества А'Яо, поскольку множества А "о и В
строятся аналогичным способом.
Фиксируем произвольное число 8>0. В теории меры хорошо известен факт, что
для p-почти всех точек окружности
S1 существует предел lim = (х) (р=п. в.), где
1(C)-о Р(С)
Ха (х)-индикатор множества А. Точки множества А, для которых этот предел
равен 1, называются точками плотности множества А. Рассмотрим множества
А'п = {С eiU:
р(спл)
Р(С)
<8
Тогда X .,(х)М-*° Ха(х). Следовательно, \i(A'J)-+\i(A), и, выби-
А и л-юэ
рая п0 достаточно большим, имеем | р (А ^о) -р(Т) | < 8. Возьмем
произвольный отрезок С? =Д,. Тогда 7'"° взаимнооднозначно отображает Д"°
на S1. Если т есть естественная координата на S1, то мы можем ввести
такую координату т на Д"°, что 7'"°х(т) = т, 0^т<1.
Лемма 2. Существуют абсолютные константы йь Ь2, не зависящие от п0, для
которых
h <-
1^/(A<j"°)) dx ^ 2
Доказательство этой леммы будет дано позже. Сейчас мы закончим
доказательство теоремы. Для А^п)еА'ПяР\В
J p(x^X = ^F) 'J pW^x + 8 =
л ЛД/
| р(*)/(д^:
dx
р(Д/>) /(Д/'|
лл^д/)
+ 8<(1 +8)
dx
7(др)
+ 8=
эл^д/)
=(1+8)
dx
Д: + 8<(1 + 8)
dx + 8.
Здесь А = Т"° (А П А)"0>). Поскольку АеМ(Т "°е), множество Я не зависит
от А-"о), но зависит только от +.
Теперь для Aj"to)eA'^Df]B мы можем написать
р(Д</)
f o(x)dx" f pW'W dx
J р(х^° J HlAiPTW
.""))г
X П Ar(AJ-">)
И1-8)
ЛЛ*(Д/) dx
/(АП
^(1-8)
dx
/(Air*)
-8 =
a n а:(д<"">) =(1-8)
dx 1
dxl(Ap>))
dx - 8^(1 - 8)bi
dx-8.
Следовательно,
-28
*
< dx^:
28
(1+8)82"J"'"(1-8)8/
Л
Для достаточно малого 8 эти неравенства противоречат друг другу, откуда и
вытекает утверждение теоремы.
Доказательство леммы 2. Возьмем две точки х', х"еД/>. Мы покажем, что
для некоторых констант с г, с2. Имеем
откуда
Далее, /'(7'ix")>const, |/'(7''х')-/'(Гх")|<тах|/"(х)|-|Гх'-
- Г(х"|. Точки Т'х', Г'х" принадлежат одному и тому же элементу 4я0-<-
Следовательно, ITV - 7',х"Ктах/(Л^°"')).
к
Вместе с условием теоремы это дает требуемый результат. Лемма 2 доказана.
ССЫЛКИ
[1 ] В г е i m a n L. The individual ergodic theorem of information
theory//Ann. Math. Stat.-1957,- V. 28,-P. 809-811.
[2 ] П и н с к e p М. С. Динамические системы с вполне положительной и
нулевой энтропией //ДАН СССР.-1960. Т. 33, № 5.- С. 1025-1026.
[3 ] Рохлин В. А., Синай Я. Г. Построение и свойства инвариантных
измеримых разбиений//ДАН СССР.-1961.-Т. 141, № 5,-С. 1038-1041.
[4] Гуревич Б. М. Совершенные разбиения для эргодических
потоков//Функцион. анализ и его прил.-1977.-Т. 11, № 3.-С. 20- 23.
[5] Blanchard F. Partition extremales de flots d'entropie finie//Z.
Wahrscheinlichkeitstheorie.-1976.- Bd. 36, №2.- S. 129-136.
[6] Rudolph D. A Two-valued Step-coding for Ergodic Flows// Proc. of the
