Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. 1) Для каждой нормированной собственной функции Л
| /х | = 1 почти всюду,
2) каждое подпространство Нх одномерно;
3) множество АРР(Т)-счетная подгруппа группы S1.
Доказательство. Из уравнения для собственной функции получаем
|/х(7х)| = |/х(х)| (modO).
Это означает, что |/х(х)|-инвариантная (modO) функция. Из эргодичности и
условия нормировки вытекает, что |/х(х)| = 1 (п.Ь.). Таким образом, 1)
доказано.
Допустим, что для некоторого АеЛрр(Г) существуют две ортогональные
нормированные собственные функции f[l), f(2).
Тогда /[1)//[2)eL2(M, Ж, ц) согласно 1) и
I,
/12,(^) wi2)(*) л2,м'
т. е. /[1)(х)//[2)(х) = const (п. в.) и f[l\ f{2) не могут быть
ортогональными. Это доказывает 2).
Чтобы доказать 3), мы покажем, что если Аь А2еЛрр(7'), то AiA2eApp(r),
Xl/X2sApp(T). Возьмем . Их произведение и отношение принадлежат L2(M, Ж,
ц) (согласно 1)) и
UT(fx, -Л2)(х) =Л. (Тх)Л2(Гх) = А! А2 fi (х)/2(х) (modO),
т. е.
Л, 'Л2 е Ях,х2 •
45
Таким же точно способом получаем
|mod0)'
Т. е. fxJfx2eHXiiXl, что доказывает 3).
Следствие. Если Лрр^^Ш, то отображение 7\ прямого произведения (М хМ, р.
х р), действующее по формуле Ti(x, у) = (Тх., Ту), не эргодично.
Действительно, возьмем ЯеЛрр(Т'), Хф\, и /хеНх- Тогда Л(х)/Л(у)-
нетривиальная инвариантная функция для Тх.
Для каждого Л-еЛрр^) различные собственные функции /хеЯх отличаются
множителем, принадлежащим S1. Мы уже видели, что если fXl еHXl, fx2 еНХг,
то fXl -fx^Hx^. Следующая теорема очень важна для метрической
классификации автоморфизмов с чисто точечным спектром.
Теорема 2. Для каждого ХеЛ.рр(Т) можно выбрать fxeНх таким образом, что
fX[ 'fx2=fXix2(n- "•) при любых Я1; Я2.
Доказательство. Выберем произвольно /[0)еНх для всех Я.еЛрр(Г). Тогда
/[0)•/<м0) = с(Я., p)/l0.'M. Функция с(X, р) определена на Лрр^хЛрр^) и
принимает значения в S1. Она обладает следующими свойствами:
1)г(1, i) = i;
2) с{Х, р) = с(р, Я.);
3) с (Я.!, Х2) • Я.3) = с(Я.1, Я2Я3) • с (Я-2, Я3).
Второе свойство следует из коммутативности умножения функций, третье-из
ассоциативности умножения. Мы покажем, что каждая функция, обладающая
свойствами 1) - 3), может быть записана в виде
с(Х, ц)-; *М
а (Я) • а (р)
при некоторой функции а, определенной на Лрр^) и принимающей значение в
S1. Если это считать доказанным, то функции fx =/10) • а (Я.) решают нашу
проблему.
Запишем App(7j в виде Лрр(7') = {1, Я.ь ..., Я", ...}. Обозначим AJ3
подгруппу, порожденную 1, Я.ь ..., Я", и предположим,
что для всех Я., реЛ("' мы доказали, что с(Х, р)= ..
а (Я) а (р)
Дальнейшее доказательство проведем индукцией по п. Если Я*+ j еЛ^, то
наше утверждение уже доказано.
Предположим, что Я' + 1?Л(Р' ни для каких reZ1, гФ0. В таком случае
положим а(Яп+1)=1. Если же Я' + 1еЛ*^ для некоторого гФ 0, то множество
всех таких г будет подгруппой Z1. Следовательно, существует А > 0 такое,
что все эти г имеют
46
вид r = hm, - оо<т<со. Из индуктивного предположения следует, что а(Ав+1)
уже определено. Мы должны добиться того, чтобы
с(Хр X a(^"+i) fn
С^И+1" ^*11+1/ /., я \ /Л \* vU
а(Х.;+1)-а(Х"+1)
Взяв произведение в обеих частях равенства (1) по р от 0 до А - 1,
получим, что
r(Xp X
Д ( l} HW))*'
или
(a(A.B+i))*=a(X,J+1)J"[ c(AJ+1, Ав+1)^
Определим а(Ав+1) равным некоторому корню этого уравнения. Используя (1),
можно положить для г>0
г- 1 a(^H+i)=(a(X1I+i))r • |~[ с(А?+1, Х,я+1).
5 = 0
Для г<0 мы используем равенство
c(^Ii+i, A"+i)=(a(AB+i)a(AB+i)) 1,
которое приводит к определению a(AB+i). Таким способом мы распространяем
определение а (А.) на все А=Ав+1. Покажем, что согласно этому определению
a(A;Jf) = a(AJ+1)-a(^+i)'(c(AJ+1, А*+1))- (2)
Рассмотрим случай р> 0, <7>0; другие случаи рассматриваются аналогично.
Для р=0, положив в 3) А2 = А3= 1, мы получим
с2(^л+1> 1)=С(^"+1' О'
т. е. с(Ав+1, 1)=1. Это доказывает (2) для р=0. Проведем индукцию,
предположив, что (2) выполнено для некоторого р. Используя определение
а(А?+1) и индуктивное предположение, имеем
p + q-l
Г1 c(AJ + 1, A"+i) =
s = 0 ^ ^
= c(AJ+1, АЦ+1)- J"[ c(AJ+i, A"+i)- J"[ c(AJ+1, AB+1).
5=0 5=0
Тогда для перехода от р к р+1 мы должны показать, что c(Wth Ав + 1)-с(А"
+ 1, Аг+1) = с(^:ь ^ + i)-c(AS+1, Ав + 1).
47
Но это следует из равенства 3), если в нем взять А,1 = Х^+1, X2 = XJ+1,
Х,3 = Хв+1.
Распространим теперь определение а(Х) на все Хе Л(рР+ Ч Предположим, что
A, = A,* + i'p, цеЛ^. Мы положим
а(Х) = с(А;+1, ц) (а(^+1)-а(ц))-1. (3)
Нам нужно показать, что это определение корректно, т. е. не зависит от
представления X. в таком виде. Действительно, если X = XJ+i n', то (p -
r) = mh и ц = и по индукции
а(ц) = с(Х.?21, n') a(XJ+;) a(n'). Подставив это в (3) и используя (2),
мы получим
а(Х)=с(^+1, ц)-с(Х;;гь ц')-а(^ + 1)-а(Х;;;)-а(ц') =
=с(Х?+1, ц)-с(хг;;, ц')-(с(^+1, x;;;))"1-a(^+i) a(p')-
Тогда корректность определения вытекает из равенства
с{К+и и)-с(^;гь ц')=с(х;+1, x;;i)-c(xj+1, ц').
Но последнее равенство есть частный случай 3), если положить Xi = X' + 1,
