Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Современные проблемы эргодической теории" -> 16

Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1955. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremennieproblemietnografii1995.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 68 >> Следующая

этого уравнения (см. ссылки в конце лекции) и богатая информация о
свойствах функции (4). В частности, коэффициенты ее разложения Тэйлора
вблизи х = 0 хорошо известны:
и а-1 = 2,50290. Для нас существенно, что ср(а)>а. Нам понадобится
следующее следствие (4).
Лемма 2. Для каждого п>0
Доказательство проведем индукцией по п. Для п = 1 формулы (4) и (5)
совпадают. Предположим, что (5) установлена для п = т-\. Имеем тогда
1) ф(х) = ф( -х); 2) ф(0)= 1; 3) ф"(х)<0;
и удовлетворяющая функциональному уравнению
ф(х)= --ф°ф(ах), где а=-ср(1).
а
(4)
ф(х)= 1 -1,5276 • х2+0,10482 • х4+ ...
ф(х) = (-1)"а " фофо...оф (а"х).
(5)
"V
2"
= (-l)m 1ат 1ф°ф(ах) = (- 1)'',ап,ф(х),
что и требовалось доказать. 42
Введем отображение Т9 отрезка f-1, 1] в себя такое, что Гфх = ф(х).
Положим А&}= [ - а", а" ], Д[п,=
Лемма 3. Отрезки Д*1* обладают следующими свойствами-.
1) ДЙ)ПА?2 = 0 для 0^ku к2<2", kx^k2\
2) A^cAtf";
3) АГ^^АГиА^з-..
Доказательство. Свойство 2) следует непосредственно из (5). В самом деле,
апх пробегает А^, когда х пробегает [-1,1]. Из (5) мы имеем
|ф°...°ф(апх)Ка'1|ф(х)Ка'1, по-
2"
скольку |ф(х)|<1.
Свойство 3) достаточно доказать только для к = 0. Но в этом случае
А{?)сД{?-1), А, сА'",:,и =э Д ~ и, что следует из (2).
Доказательство 1) проведем по индукции. Для л=1 оно легко вытекает из
вида ф. Предположим, что 1) доказано для п - т- 1. Тогда Aj,)cA{j"-1) и
по индуктивному предположению отрезки А*"' попарно не пересекаются при
0<fc<2m-1. Покажем, что Д{[!?-, сД^,-1), Д^-, Р|Д{)'п, = 0. Опять
используем (5) для п = (т- 1):
(- 1)т_1ат_1ф(х) = фо...оф(а'"_1х).
2"->
Тогда а",_1хеА|)п) только при |х|<а-это вытекает из
того свойства ф, что | ф (х) | > а при | х | < а. А значит,
| ост~1Ф(х)|>ат, откуда А^?-1ПА[Г,) = 0, A^-i cAf"u. Теперь
утверждение просто следует по индукции. Лемма 3 доказана.
00 2"-1
Определение 3. Множество F= П U А[п) называет-
п= 1 к -0
ся аттрактором Фейгенбаума.
Можно показать, что dist(r"x, F)-+0 при л-+оо для всех х за исключением
счетного подмножества отрезка [-1, 1]. Это объясняет, в каком смысле F
является аттрактором. Лемма 3 дает также равентво T^F=F.
Теорема 2. Существует единственная мера р0> сосредоточенная на F (т. е.
|т0(^)= 1), инвариантная относительно Г,. Соответствующий унитарный
оператор UT<r имеет чисто точечный спектр с собственными значениями
г=1, 2, ..., 0, 1, ..., 2г-х-1.
Доказательство. По крайней мере одна инвариантная мера ро.
сосредоточенная на F, существует в силу теоремы Боголюбова-Крылова. Для
этой меры ро(А[п,) = 2-*,
43
1 и ехр
0<*<2". Но любая мера ро, сосредоточенная на F, определяется однозначно
по ее значениям на отрезках Д?\ 0<&<2". Это следует из того, что если
т|"-разбиение F на множества /'ПМ',), то и v л.=е.
п
Теперь мы построим для каждого
1 Л • 2р+1
Vr = expl 2я1-^г-
соответствующую собственную функцию. Положим
/р,г(х)=с для хеД^,
где с-произвольная константа, |с| = 1. Уравнение для собственной функции
fpr(T9x)=\p rfp r(x) позволяет определить /",,(х) для хе Д^1 равным ск\
г. Тогда для хеДсправедливо соотношение fp ,(Т9х)=\р ,/" ,(х) в силу вида
Хр, и включения д^сдр.
Мы должны показать, что множество функций /р>, образует ортогональный
базис. Различные функции fp>r ортогональны, поскольку они имеют различные
собственные значения. Все функции 1, р^п, принимают постоянные значения
на каждом отрезке Д?°, 0<Л<2"-1, т. е. измеримы относительно ст-алгебры
Их общее
число равно
R
1+ ? 2,_1=2". г-1
А тогда они порождают все Ь2(М 1л00, Ро)- Устремляя и->оо, получаем
желаемый результат. Теорема 2 доказана.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
1° Теория эргодических динамических систем с чисто точечным спектром
излагается в монографии
[1 ] К о р н ф е л ь д И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая
теория.-М.: Наука, 1980.- 384 с.
2° По поводу теории Фейгенбаума см. работы М. Фейгенбаума
[2] Feigenbaum М. J. Quantitative universality for a class of non-lineer
transformations//J. Stat. Phys.-1978.-V. 14.-P; 25-52;
[3] Feigenbaum M. J. The universal metric properties of non-lineer
transformations //J. Stat. Phys.-1979.-V. 21.-P. 669-706.
А также
[4] Collet P., Eckmann J.-R. Iterated maps on the interval as dynamical
systems.- Boston; Birkhauser, 1980.
Более подробное обсуждение и другие ссылки см. в конце лекции 11.
44
ЛЕКЦИЯ 5
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭРГОДИЧЕСКИХ
АВТОМОРФИЗМОВ. ИЗОМОРФИЗМ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЧИСТО
ТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ
Пусть Т-произвольный эргодический автоморфизм пространства с мерой (М, Ж,
ц) и UT-сопряженный унитарный оператор гильбертова пространства L2(M, Ж,
ц).
Обозначим через Арр(7') такое подмножество S1, что для каждого АеЛрр(Г)
можно найти собственную функцию /х с собственным значением А, т. е.
(UT/х)(х)=/х(7Х)=А Ух(х) (п.Ь.). Мы назовем ЛРР(Г) чисто точечной частью
спектра оператора UT. Подпространство собственных функций, отвечающих
собственному значению А., обозначим через Н%.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed