Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
имеет одну и ту же структуру.
Энтропийная теория динамических систем начинается с введения энтропии
разбиения. Предположим, что имеется конечное или счетное разбиение
пространства Лебега (М, М, р) на подмножества Си
Определение 1. Сумма #(?)= - ?р(С,)1пр(С() называется энтропией разбиения
Е,. Для всех остальных разбиений Е, энтропия Я(!;)=оо.
Пространство всех конечных или счетных разбиений < со обозначается Z. Два
разбиения играют специальную роль во всей теории: разбиение е
пространства М на отдельные точки и тривиальное разбиение v, единственным
элементом которого является все пространство. Ясно, что //(v)=0, Я(е)=
оо.
Если Ь, и г|-два измеримых разбиения, то Е, индуцирует измеримое
разбиение на почти каждом Сц. Энтропия Н(Е, | Сч) называется условной
энтропией разбиения Е, на элементе Сч.
Определение 2. Я(?|г|) = J Я(!;|Сч)*/р называется
М|т,
условной энтропией разбиения Ъ, при условии т|.
Лемма 1. Я(^|г|)<Я(^). В случае Я(^)<оо равенство имеет место тогда и
только тогда, когда Е, и г| независимы.
53
Доказательство. Будет рассмотрен только случай счетного разбиения ?.
Предположим, что ? = {Ci, С2, ...}. Тогда
= J (р(С(|Сч)1пр(С;|Сч))^р].
Учитывая формулу полной вероятности J р(С;|Сч)й?р =
= |i(Ci), а также выпуклость функции у= - xlnx, с помощью неравенства
Иенсена устанавливаем немедленно, что
Min
Равенство имеет место лишь в случае, когда |х(С,-1 Сп) не зависит от
Cn(mod 0). Лемма 1 доказана.
Следующие соотношения являются прямыми следствиями определений и леммы 1.
Г Я(^л) = Я(c) + Я(л|У<Я(^)+Я(л).
2° ЯЙ V л I о = Я(§ I С) + я(л I ^ V С) <я(§ I С) + Я(л | С).
3° Я(?|ти)<Я(?|т12), если т\у^т\2.
Условная энтропия обладает также некоторыми свойствами непрерывности,
перечисляемыми ниже.
4° Если ?=V?i, то lim Я(^"|л) = Я(^|ц).
i п-" оо
5° Если ^^2>..., ?= Л и Я(^|ц)<оо для по крайней
i
мере одного к, то lim Я(^" | ц) = Я(?, | ц).
п-*00
6° Если Ц1<л2<..., ц= V ц" и Я(?|ць)<ао для по крайней
П
мере одного к, то lim Я(^|ц") = Я(^|т1).
п-*00
7° Если T)i^T)2Si..., г) = Л ti", то lim Я(^|т1") = Я(?|т1).
п п-"ос
Все эти свойства доказываются с помощью теоремы Дуба о сходимости
условных вероятностей. Мы опускаем здесь эти доказательства.
Предположим теперь, что Т-эндоморфизм пространства (М, М, р).
Лемма 2. Для произвольного ^ е Z существует предел h(T, S)=lim -
HfevT~1Zv...v Т~п§.
"-."О Л+1
54
Доказательство. Используя 2° и инвариантность меры р, имеем
Я(% v T~1?,v ...v T~"fy =
= Н(Т~1^ v... v T~"fy + H(?, | v ... v T~"?,) =
= Я(% v7'V".v T~"+1Q + H(fe \T~1?,v ...v T~"fy =
= ... = Я(^|Г-1^..^Г-^) + Я(^|Г-1^..^Г-''+1^)+
+ H(?,\T-1?,v...vT-" + 2)+... + H(?,\T-1?,)+H(Z,).
Положим
^ = 7,-1^vr^v...v7^v.." = T^v Т2^ v ...
Из 6° следует, что
lim Я(% | Г-Ч v - v Т-'?,) = |Г),
п-"оо
а тогда
]im Я(^уГ'У...уГ1)
I)->оо л 4* 1
= lim -L f Я(%| v... v Т%) =
п-оол+1ц_0
= Я(Щ-) = А(ГД).
Лемма 2 доказана.
Иногда h(T,fy называют энтропией разбиения 2, на единицу времени (по
отношению к Г). Если fii то А (Г, ^1)<А(7П, %2) (используется свойство
1°).
Определение 3. supA(7', fy = h(T) называется метриче-
?eZ
ском энтропией, или просто энтропией эндоморфизма Т.
Очевидно, что 0^А(Г)<оо и А(Г)-метрический инвариант эндоморфизма Т.
Рассмотрим некоторые свойства А (Г). Теорема 1. а) Если Т-автоморфизм, то
h(T) = h(T~1).
б) Для любого эндоморфизма Т и любого к^ 1
h(Tk) = kh(T).
Доказательство. Утверждение а) следует непосредственно из равенства
Я(^v v ... vT-"fy = H(T"Z,vTn-1Z>v...vty,
которое в действительности дает А(Т, fy = h(T~1, {;) для любого
Чтобы доказать б), заметим сначала, что
A(r,y=iA(7*,?v:r1$v...v7'-' + 1$).
Отсюда немедленно получаем неравенство А(7')<^А(7'к).
Чтобы получить противоположное неравенство, предположим, что h(Tk)<<x>, и
возьмем такое что h(Tk, ^)>h(Tk)-e. Тогда для ^ = ^vrV...vr'+1{ имеем
^у>^ и, следовательно, h(Tk, -е. С другой стороны,
h(T)^h(T^)=-kh(Tk,^l-h(Tk)-e,
что в силу произвольности выбора е>0 дает h(T)^^h(Tk).
В случае, когда h(Tk) = <x>, рассуждения аналогичны. Теорема 1 доказана.
Рассмотрим теперь непрерывный поток {S'}. Теорема 1
дает нам равенство A(S,*)=|-^-[/i(S/2) при рациональном
I h I
отношении ty ft2. Покажем, что последнее равенство справедливо при всех
tyjt2.
Теорема Г. Если {S'}-непрерывный поток, то для всех ty, t2
Доказательство. Без ограничения общности можно допустить, что ty, t2>0.
Возьмем произвольное разбиение E,eZ и для каждого натурального г положим
^ = ^vS_,,/VS_2(,/V...vS'(r~1l',/r.
Тогда для любого г
< lim т-T-H(t v S v... v S ~nt% v ?, v
n--*oo 1) ^2
Г- 1
v S_,l/rq v ... v S ~m,'-Г'Ч), (2)
где m = m(n) выбрано таким образом, что mt{ ^nt2 и ---"1.
nt2
В таком случае
•s","at'
vqvS_,|/^v... vS~m'l '"Г-'1 ?) =
:("+1.)^.._1 ......... Hlf
(л+1)/2 (m + l)/,
H (I v Sv... v S ~mt' ~ - '*?) +
+ r-+.V- •............vrS... V5-ЛЧI5v
(n+l)/2 (w + l)r,
vS4l/V...vS''n,'"T^). (3) Первое слагаемое в последнем выражении
стремится
к -A(S'1, ^г). Из 2° легко получаем, что h
