Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
X.2 = XJ2J, Х3 = ц' и воспользоваться равенством ц'Х?+1=ц.
Последний шаг состоит в доказательстве того, что корректно определенная
функция а(Х), Хе Л*,"р+1), удовлетворяет нужному уравнению. Положим
^' = ^?+1Ць X" = XUiH2, HieA^, Цг6 Л(р^.
Тогда
a^^a^f+ij-a^-c^f+b щ), а (Г)=а (Хгп + i) • а (ц2) ¦ с (Х; +1, ц2),
a(X.'-X/') = a(X.^4i)-a(pip2)-c(X.j:?i, щцг).
По индукции
a (Hi) ¦ а (ц2)=а (ц!ц2) • (с (pi, ц2)) "1.
Точно также, из (2)
a (Xf +1) • а (Я; +1) = a(XiJi) • (с(Х| +1, X; +1)) -х.
Теперь доказательство равенства
С(Х' г)- а(Х'~Г) а (X.') ¦ а (X")
сводится к доказательству того, что c(^n+lPb Х?-цЦ2)'с(Х.?+1,
p1)'c(A,Jl+1, ц2) =
=с(х;^;, nin2)-c(ni, ц2)-с(х;+ь х;+1). (4)
48
Преобразуем левую часть (4), используя (3): t'^-a+i 'Рь Ki+ 1Р2)'1, Pi)-
e(X,Ii+i, Рг) =
= c(pi, X?+ 1P2)'c(X,J+1, Р1Р2Л+1)'c(^'" + i> p2) =
= с(рь H2) c(pip2, krn+i)-c(XS+b PiP2^i) =
= фь H2) c(XJ+1> Xrn+1) c(XJirb PiP2).
В результате преобразований мы получили правую часть равенства (4), что и
требовалось доказать.
Замечание. На самом деле теорема 2 есть результат гомологической алгебры,
который может быть легко установлен чисто алгебраическими методами. Выше
мы представили прямое доказательство, которое, возможно, будет проще для
тех, кто не имеет опыта в соответствующих рассуждениях.
Сейчас будет доказана основная теорема этой лекции. Предположим, что
эргодический автоморфизм с чисто точечным спектром Т1 действует в
пространстве с мерой (Ми Л2, pj, а эргодический автоморфизм Т2 также с
чисто точечным спектром-в пространстве с мерой (М2, М2, р2). Обозначим
через Л^, их спектры, т. е. соответствующие множества собственных
значений.
Теорема 3 (фон Нейман; см. [2]). Автоморфизмы Tlt Т2 метрически изоморфны
тогда и только тогда, когда
Л(1)_Д(2)
/VPP /VPP'
Доказательство. Если Т2, Т2 изоморфны, то UTi, Ut2 унитарно эквивалентны
и, следовательно, =Л^.
Докажем обратное. Пусть Л*,1^ = Л^. Тогда по теореме 2 мы можем найти
такой базис {/I1*} гильбертова пространства L2(M1, Jt2, Pi), XeAj.p', что
/IV'/Ц'=/^^2 ПР11 всех Л, \2еА$. Возьмем аналогичный базис {/12)} в
гильбертовом пространстве L2(M2, Jt2, р2). Определим теперь изоморфизм V
между обоими гильбертовыми пространствами, положив
Мы объясним, почему этот изоморфизм на самом деле индуцирован
изоморфизмом ср пространств с мерой (Ми Ли pj и (М2, J(2, р2).
Рассмотрим плотное подмножество конечных линейных комбинаций A (Xl) = ?
с,/!1' (Xl), A (х2)=? <4 Л2> Ы- Причина, по которой выбирается
специальный базис, лежит в соотношении F(Ai А2)= F(Ai)• F(A2), которое
вытекает сразу из теоремы 2. Используя непрерывность V, мы немедленно
получаем, что если Хе, если индикатор множества Ег cz то Х^ = Х?, и
(Ухе,)2=УХе, Т. е. Vxe^Xe, для некоторого
49
t,2cM2. Унитарность V влечет равенство pi(?^ = p2(?2)-Точно так же
K(x?ix?J) = ^(ХятйН v(xE\) НхЕ';Ь Общее утверждение теории пространств
Лебега гласит, что любой изоморфизм гильбертовых пространств Ь2(Ми Л у,
pi), L 2 (М2, Л г-, Р2) с описанными свойствами всегда индуцирован
изоморфизмом измеримых пространств (Мь Л у, р^, (М2, Л2, р2), что и
утверждалось.
Теорема 4. Для любой счетной подгруппы A cS1 существует эргодический
автоморфизм Т, для которого
лрр(г)=Л.
Доказательство. Мы снова воспользуемся теорией двойственности Понтрягина
для абелевых групп. Обозначим через М группу характеров группы Л, которая
является компактной сепарабельной абелевой группой. Возьмем точку аеМ,
для которой а (Я.) = X. Тогда группа сдвигов Гах = х+а обладает требуемым
свойством, что и требовалось доказать.
Следствие. Каждый эргодический автоморфизм с чисто точечным спектром
изоморфен эргодическому групповому сдвигу.
Сейчас будет описано обобщение всей теории на случай непрерывного
времени. Пусть {S'}-поток на пространстве Лебега (М, Л, р). Обозначим
через Л(tm) ({S'}) множество точек ^.eR1 таких, что можно найти L (М, Л, р),
для которой fx(S'x)= l/'fx(x) = eatfx(x)(modO). Множество APP({S'}) также
называется чисто точечной компонентой спектра индуцированной группы {?/'}
унитарных операторов гильбертова пространства L 2 (М, Л, р).
Теорема 5. Предположим, что группа {Г'} эргодична. Тогда:
1) для каждой нормированной собственной функции fx выполнено равенство
|/J= 1 (mod 1);
2) каждое подпространство Нх одномерно;
3) множество Лрр({5'})-счетная подгруппа в R1.
Доказательство этой теоремы такое же, как и доказательство теоремы 1.
Определение 2. Поток {S'} называется потоком с чисто точечным спектром,
если множество собственных функций {/х}, keApp({S'}), образует базис в
L2(M, Л, р).
Теорема 6 (фон Нейман [2]). Два эргодических потока {Si}, {S2} с чисто
точечным спектром изоморфны тогда и только тогда, когда App({S'i}) =
App({S'2}).
Пусть М-компактная абелева группа, р-ее мера Хаара и {а,} -
однопараметрическая подгруппа М. Введем поток {S'} на М по формуле S'x =
x+a,. Этот поток называется потоком групповых сдвигов. Обозначим через М'
группу характеров
