Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
и, что следует из (4.2196), антисимметрична
Ст= —С. (4.222)
Кроме того, при преобразовании подобия при помощи матрицы С матрицы у^1
переходят в матрицы, транспонированные и взятые со знаком минус:
С~ху^С = — ?'1у5у^у55 = — В'ху^В — — у^т. (4.223)
112
Гл. 4. Уравнение Дирака
Рассмотрим теперь уравнение Дирака при наличии внешнего электромагнитного
поля
(iy^d,* — т) ф = еу^Ацф, (4.224а)
(г^яФУ*1 + тЩ) = — ефуМц. (4.2246)
Если уравнение (4.2246) транспонировать и заменить 'ум'т на —С~1у^С, то
получим
(— т) Сфт — — еу^АуР^. (4.225)
Таким образом, если спинор Ф описывает движение частицы с зарядом е и
магнитным моментом р, то спинор Сфт описывает движение частицы с зарядом
— ей магнитным моментом — р. Мы будем называть спинор С\[>т зарядово-
сопряженным спинором и введем для него обозначение
фс = Сфт. (4.226)
Нужно заметить, что в рассматриваемой одночастичной теории операция
зарядового сопряжения Uc, при которой
Uc^ = фс = СфГ, (4.227)
антиунитарна. В предположении релятивистской инвариантности операции
зарядового сопряжения спиноры грс и гр должны обладать одинаковыми
трансформационными свойствами при преобразованиях Лоренца, т. е.
г]/ (х') — S (А) ф (х), (4.228а)
ф'с (х') = S (А) фс (х). (4.2286)
Подставляя выражение (4.226) для фс в (4.2286) и вспоминая, что ф' = ±
ф^'^А) (где плюс берется для Zf, а минус — для L\), заключаем, что ±
[S~l)T фт = АСфг или что
ST (А) = (А) С при А ? Lf (т. е. когда А00>1), (4.229а)
ST (А) = — (А) С при A ?Zj (т. е. когда А00 < — 1). (4.2296)
Условия (4.229а) и (4.2296) позволяют уменьшить число допустимых значений
для матриц S (is) и S (it). Например, если в качестве S (is)) выбрать
матрицу у0, то уот = у0 = (у0)-1 и условие (4.229а) не выполнено. Поэтому
в качестве S(is) можно выбратьлишь +гу° (это показал Рака [657]). Для
временных отражений выполнение условия (4.2296) гарантируется выбором
A(it) = ±гу5С = ±iB.
Наконец, остановимся на свойствах зарядово-сопряженных спиноров в случае
свободных частиц. Согласно тому, что говорилось выше, электрон
описывается волновой функцией и (р), которая в импульсном представлении
подчиняется уравнению
(Р — т)и (р) = 0. (4.230)
Было установлено также, что волновой функцией позитрона с импульсом -I- р
служит отрицательно-частотный спинор с импульсом — р, т. е. волновая
функция электрона, отсутствию которого (в фоне состояний
§ 8. У равнение Дирака во внешнем поле. Зарядовое сопряжение
113
с отрицательной энергией) соответствует этот позитрон. Такой спинор
удовлетворяет уравнению
( — р — m)v(p) = 0 (4.231а)
и
v (р) (— р — тп) = 0. (4.2316)
Снова применяя операцию транспонирования к уравнению (4.2316) и используя
соотношение (4.223), находил), что спинор
CvT (р) — ис (р) (4.232)
удовлетворяет уравнению (р — т) ис (р) = 0. Таким образом, зарядово-
еопря?кенный спинор описывает частицу с импульсом + Р? Используя свойства
матрицы С, последнее соотношение можно обратить и написать
v(p) = C\uc(p)]T. (4.233)
ГЛАВА 5
Уравнения для частиц с массой, равной нулю
В этой главе мы рассмотрим два уравнения для частиц с массой, равной
нулю, представляющих наибольший интерес для приложений в физике
элементарных частиц: уравнение для нейтрино и уравнение (Максвелла) для
фотона. Уравнение для поля тяготения мы рассматривать не будем.
§ 1. Двухкомпонентная теория нейтрино
Впервые эта теория для описания частицы с массой, равной нулю, и со
спином V2 была предложена Вейлем в 1929 г. [839]. Она обсуждалась Паули в
его статье в Handbuch der Physik [622], но была им отвергнута из-за
отсутствия в ней инвариантности относительно пространственных отражений.
В последнее время были проведены эксперименты, которые показали, что в
(1-распаде четность не сохраняется. Для объяснения наблюдаемого
несохраНения четности Ли и Янг [488] (которым принадлежит заслуга самой
постановки вопроса о возможном несохранении четности и которые указали
пути проверки этой гипотезы), Ландау [475] и Салам [694] предложили
описывать нейтрино при помощи уравнения Вейля.
Волновое уравнение, которому подчиняется двухкомпонентная волновая
функция ф(х), описывающая нейтрино, имеет вид
indfCp (х) — — ci%a-Уф (ж), (5.1)-
или, если использовать обозначение р = — ifrV,
= со • рф, (5.2)
где at представляют собой 2x2 матрицы Паули. Форм-инвариантность
уравнения Вейля относительно ограниченных неоднородных преобразований
Лоренца можно показать, рассуждая так же, как в'случае уравнения Дирака.
Удобно ввести матрицу а0 = / и записать уравнение (5.2) в виде
оарцф = 0. (5.3)
Это уравнение будет форм-инвариантно, если функция ф(х) при ограниченных
неоднородных преобразованиях Лоренца х' = Ах + а. р'= А~1р преобразуется
по закону
Ф'(*') = *? (Л) ф(*), (5.4)
§ 1, Двухкомпонентная теория нейтрино
115
где S (Л) есть 2x2 матрица, обладающая свойством
S (Л) (Л) = A!?av. (5.5)
Уравнение Вейля в штрихованной системе запишется в виде
а^ф'(х') = 0. (5.6)
Вид S (Л) для различных частных случаев преобразований Лоренца можно
