Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
относительно пространственных отражений, то у частицы с массой, равной
нулю, должны быть два состояния поляризации (а не одно), отличающиеся
противоположными значениями спираль-ности. Если же теория не инвариантна
относительно отражений, т. е.
R (0) Т (0, (в) = R (0) L (0, со)
(5.35)
chco' shco' shco' chco' О О
(5.37)
122
Гл. 5. Уравнения для частиц с массой, равной нулю
зеркально отраженного состояния не существует, то, как мы видели, у
частицы с массой, равной нулю, имеется только одно состояние поляризации.
С другой стороны, напомним, что для частицы с конечной массой
существование двух состояний поляризации вытекает уже из инвариантности
теории относительно собственных преобразований Лоренца (см. гл. 2).
§ 3. Уравнение для фотона
В качестве «волновой функции» одиночного фотона можно принять векторную
функцию At(x) (г = 1, 2, 3), удовлетворяющую уравнению
ihcdо А (х) = % У~ — V2 А (х) (5.38а)
и дополнительному условию (закрепляющему калибровку)
V - А (.г) = 0. *(5.386)
Физическая интерпретация функции А (х) следует из рассмотрения ее фурье-
образа /(к), определяемого согласно
А(ж) = [ -IT e~lk'xX (к)- (5-39)
.) к0
ko>0
Здесь /с0 = |к|, и поэтому выражение (5.39) является решением уравнения
(5.38). Тогда величина | х (к) j2 d3k пропорциональна вероятности того,
что фотон имеет импульс в интервале между к и k-f- dk. Введем три линейно
независимых вектора et (к), е2(к) и к/|к|, причем
е; (к)"в; (к) == 6iR (г, / = 1, 2), (5.40а)
ег (к) - к = 0 (г, / = 1, 2). (5.406)
Тогда условие ноперечности (5.386) означает, что
А(я) = 2 J ^-Xi(k)ei(k)e-ift-x, (5.41)
i=l, 2 +
где X; (к) — амплитуда вероятности того, что фотон имеет импульс к и
поляризацию г. Если скалярное произведение имеет вид
2
(х> Ф )= 2 5 “Т^Хг(к)фг(к), (5-42)
г~{
то исследование, подобное тому, которое проводилось в случае спина,
равного 0, показывает, что для фотона нельзя построить локализованные
состояния [576]. В общих чертах дело заключается в том, что должным
образом можно распорядиться только зависимостью от импульсов, лежащих в
плоскости, перпендикулярной к «направлению» искомой локализованной
(векторной) волновой функции, но невозможно локализовать фотон в
направлении его поляризации. По этой же причине только в импульсном
представлении функцию А можно интерпретировать как волновую функцию
фотона. Ковариантное описание однофотонных состояний мы откладываем до
гл. 9.
Часть вторая
ВТОРИЧНОЕ
КВАНТОВАНИЕ
ГЛАВА 6
Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
В этой главе мы установим, что обычное описание системы п тождественных:
частиц с помощью волновой механики эквивалентно операторному формализму,
который стал известен как «вторичное квантование». Он позволяет проводить
вычисления, в которых автоматически учитываются комбинаторные стороны
задачи, связанные с конкретной статистикой (Бозе — Эйнштейна или Ферми —
Дирака), которой подчиняются рассматриваемые частицы. Далее, этот
формализм позволяет обобщить обычную квантовую механику па системы, для
которых число частиц уже не является интегралом движения. Такое обобщение
необходимо для описания физических явлений в релятивистском случае.
Эквивалентность операторного описания (с помощью вторичного квантования)
системы п частиц и описания обычной шредингеровской теории была
установлена Иорданом и Клейном [397] для частиц, подчиняющихся статистике
Бозе, а для частиц, подчиняющихся статистике Ферми, — Иорданом и Вигнером
[399].
. Впоследствии операторный формализм был переформулирован в «пространстве
Фока» Фоком [263], который обобщил обычную шредингеров-скую волновую
механику на системы, для которых число частиц не является интегралом
движения. Работа Фока основывалась на предыдущих исследованиях Ландау и
Пайерлса [471], которые рассмотрели в конфигурационном пространстве
квантованное электромагнитное поле, взаимодействующее с веществом.
Исследование Ландау и Пайерлса в свою очередь было стимулировано
О'ппенгеймером, Гейзенбергом и Паули [363], сформулировавшими в общих
чертах квантовую теорию поля в конфигурационном пространстве. Наше
изложение частично основано на неопубликованных лекциях Баргманна (1951
г.) и на статьях Фока [263] и Пирена ]641 ].
§ 1. Перестановки и транспозиции
В этом параграфе мы кратко напомним некоторые простые свойства
перестановок.
Перестановкой называется операция, которая связывает совокупность п
упорядоченных объектов (элементов), например xt, хг, . . . х-п, с той же
совокупностью объектов, расположенных в другом порядке. Представим
операцию, которая переводит xt в ха1,х2 в ха.2 и т. д*
126 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
с помощью .символа
1 2 ... /г
(6.1)
а, а2 . . . а, '
причем = xaj, а {а4, а2 . . . а,,}, за исключением порядка, та же самая
совокупность, что и {1, . . . п}. При таком обозначении для Р отображение
j, a.j, находится под/. Это свойство не зависит от порядка записи
столбцов, так что их можно переставлять. Для п различных объектов
