Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
найти так же, как в дираковском случае. Для преобразования Лоренца вдоль
г-й оси
S (i, to) = е~1/2“°г, th<D = y, (5.7)
а для вращений на угол 0 вокруг /-й оси
S ();0) = e1/2ieoX (5.8)
Таким образом, спинор ф при однородных преобразованиях Лоренца
преобразуется по неприводимому представлению Z)<1/2,0) однородной группы
Лоренца. Для описания частицы со спином 1/2 и с массой, равной нулю,
имеется и другое волновое уравнение, которому подчиняется
волновая
функция ф, преобразующаяся по представлению Z)<0’1/2) однородной
группы
Лоренца. Оно имеет вид
ibdtty (х) — -f ihco-Уф (х). (5.9)
При однородном преобразовании Лоренца вдоль i-й оси функция ф
преобразуется по закону
ф'= е+1/210(Т|ф. (5.10)
Как указывалось раньше, после добавления пространственных отражений
представления ?)<1/2’0) и Т)(0,1/2) уже не являются неприводимыми. При
пространственном отражении они переходят друг в друга Z)<1/2’0)
Z)<0’1/2),
и только прямая сумма этих представлений Z)<1/2’0) @ Z?<0,1/2) является
неприводимой. Поэтому уравнения (5.1) и (5.9) не ковариантны относительно
пространственных отражений.
Решения уравнения (5.1) в виде плоской волны записываются в виде
ф (x) = e~iv,xu(p), (5.11)
где и (р) — двухкомпонентный спинор, удовлетворяющий уравнению
р0и = а-ри. (5.12)
Умножая обе части этого уравнения на a-р, получаем
(Ро-Р2)« = 0> • (5.13)
и, следовательно, отличные от нуля решения существуют, только когда
Po=i|p|> так что нейтрино движется со • скоростью света. Из уравнения
(5.12) видно далее, что решения с определенным знаком энергий
соответствуют определенной проекции спина на направление движения.
Экспериментальные данные по Р-распаду указывают, что у нейтрино спин
всегда ориентирован антипараллельно направлению движения, и,
следовательно, оно описывается уравнением (5.9). Его решения в'виде
8*
116
Гл. 6. Уравнения для частиц с маесой, равной нулю
плоских волн записываются ф = ехр (-ipx)v(p), причем спинор о (р)
подчиняется уравнению
Pov(p)= — o-pv(p). (5.14)
Решение этого уравнения с ро — +1 р | мы будем называть состоянием
нейтрино. В этом состоянии спин антипараллелен импульсу р и может быть
представлен левым винтом, как это изображено на фиг. 2. Решение с р0 = —
|р| соответствует спину, направленному параллельно импульсу р и
представляемому правым винтом (фиг. 3). При интерпретации отрицательно-
частотных состояний при помощи теории дырок импульс анти-
нейтрино направлен противоположно импульсу незанятого
отрицательночастотного состояния. Поэтому соотношение между направлениями
спина и импульса у антинейтрино представляется правым винтом.
Отсутствие в двухкомпонентной теории инвариантности относительно
пространственных отражений можно изобразить графически. При операции
пространственного отражения (р—— р, х—— х, а—>а) состояние
с энергией р0 = ~Нр|, импульсом р и спиральностью ^у=-|-1 переходит
•г | р |
в состояние с энергией рп= -4-1 р |, импульсом — р и спиральностью —1,
При пространственном отражении в начале координат
Фиг. 4.
но такое состояние не является состоянием нейтрино (фиг. 4). Отсутствие
инвариантности можно показать и иначе. А именно, поскольку р—это полярный
вектор, а в — аксиальный, то произведение -о-р ведет себя при
пространственных отражениях, как псевдоскаляр.
Двухкомпонентная теория Вейля эквивалентна четырехкомпонентной теории
Дирака при условии, что на выбор четырехкомпонентных волновых функций
наложено некоторое ограничение. Чтобы найти это ограничение, рассмотрим
решения уравнения Дирака для частицы с массой, равной нулю:
1Уцб"Ч (х) = 0. (5.15)
В гамильтоновой форме оно запишется в виде
idtty(x)= — iy°y-Vy\>(x). (5.16)
§ 1. Двухкомпонентная теория нейтрино
117
В представлении
-G -?)•
v-(.
-'(? ;)•
о
-0
о)
имеем
S = (o n) = iY5Y°Y’
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
Поэтому собственные функции операторов Н и s(p) будут также собственными
функциями оператора гу5. Если ось z направить по импульсу р, то четыре
линейно независимых решения уравнения Ни=р0и представятся в виде
Спиральность:
(5.21)
так что гамильтониан можно записать в виде
Н = ?у52-р = гу5 |p|s(p).
Положительная
энергия
Отрицательная
энергия
Собственные значения оператора iy5, .соответствующие этим решениям,
приведены в табл. 1.
Таблица 1
Vo Спиральность Собственное значение оператора гув
+ +i +i
- -i— —1 —1
— +i —1
— —1 +i
Таким образом, собственные значения оператора iyb для решений с
положительной энергией совпадают с собственными значениями оператора
спиральности, а для решений с отрицательной энергией iyb отличаются на
множитель —1. Выше мы видели, что нейтрино описывается двух-компонентпым
уравнением, причем его решения в виде плоской волны обладают свойством:
решение с ра— +|р| имеет спиральность —1, а решение р0= — |р| имеет
спиральность +1. Таким же свойством обладают и решения уравнения (5.16) в
виде плоской волны, если на них наложено ограничивающее условие
Ф = -гуаФ-
(5.22)
Это условие инвариантно относительно ограниченных преобразований Лоренца.
