Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
i=0
СО
(х4, х2, .. . х„_41 at | п[, и', ... п\ ...) равен нулю, если 2j п\ Ф так
что
i=l
суммирование по {я'} сводится к суммированию по таким последова-
СО
тельностям {я', я', ... п\ ...}, для которых 2j Щ — п. Далее мы исполь-
2=1
зуем полноту одночастичных базисных функций и перепишем равенство
(6.38) в виде
^ dx {Xм | х) (х, х2, х3, . . . х„; я | щ, я2, ... яг, ; ч. )= '
ОО ,
~ 2 j/’Tf $ dx (4<г) | х) (х | Хи>) (х2, х3, . . . х„; я —1 |яь я2, . . .
яг —1 . .. ) =
j=l
= ]/-^ (Х2, х3, . .. Хп; я— 1 |Я‘, я2, . .. яг — 1 . . .) (6.77а)
или
~\f 7lf (Xi, Х2, • • • J YI — 1 | /2-1 f • Tl% " 1 * * • ) “
= Yn ^ dxCkw |х)(х, хь хпМ; и—1 \пи п2, ... щ, . ..). (6.776)
138 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Подставляя последнее выражение в правую часть (6.76), получаем нужную
формулу
(Хь Х2, х3, . . . Хп-1, га — 1|ф(х)|Ф) =
= Vп 2 2 W (Х1Я<;’) (я<1) 1у) (у. xi- х2- • • • x„_t;ra-l1 лг1; га2, .. .
гаг .. .) х
г {п> ‘
X {Щ, П2, ... Щ ... \ W) =
= Vn 2 5 dy (х I ^<l)> ^<l>! у) (У’ х1’ х2- • ? • xn-i; п I ф-) =
г
= Vn ^ dy (X | У) (у, ХЬ Х2, . . . Xn_i; П | ф> =
= Уп{х, хи х2, ... x„_t; «IY). (6.78)
Аналогично, используя разложение (6.39), заключаем, что
(0|ф*(х)|ф) = 0, (6.79а)
(xt, х2, . . . xn+1; га +11 ф* (х) | ф) =
СО
= 22fRi+1 (^<г) ;x)(xi, х2, .. . хп+1; га+1 \пи га2, ... щ + 1 . ..) X
г=1 {п}
X {Щ, П2, .. . Щ ... j Ф) f=
_ П 1
=v"712 2 2 <Хг I ^ ^<г) Iх) (Xi> Хг’ • • • хг-‘’ Хг+1) • • •Xn+i; 11 iх
г i=l {п>
X 1 пи п2, ... т ...) {п{, п2, ... пь ... \ W) =
п
= г—~,—7 2 (Хг I х) (х1> х2’ • • • x*-i> хг+1’ • • • хп+й п I Ф) =
У »+1 1 ^
= 2 6 (Хг — х) (Xl> Хг’ • • • Хг-*’ Хг+1’ • • * Xn+i; п I
(6.796)
1—0
Поскольку \W) произвольное состояние, то из равенств (6.78) и (6.796)
следует
ф*(х)|х1, .. . хп-й п-1) = уи\х, хи ... х„-Г, га), (6.78а) ф(х) fXl, . .
. хп+1; га + 1) =
1 П^
— г—== У, 6 (х; — х) I Xj, .,» X;-!, хг+1, . .. х„+1; га). (6.79в)
У п4-1 к ^ ;=0
Физический смысл этих равенств станет более ясным, если принять следующие
обозначения. Пусть | Ф)— вектор в пространстве е$<0) © <Ша)© Зв™ © • • •
? т- е- он может описывать систему, число частиц которой не является
интегралом движения. Согласно физической интерпретации вектора состояния,
компонента (х4, х2, . .. х„; га| ф) в пространстве сЖ"1) является
амплитудой вероятности найти нашу систему, состоящей из га частиц,
находящихся в точках xt, х2, ... х„. Можно определить вектор j ф),
задавая его компоненты в различных подпростран-
§ 6. Пространство Фока
139
?ствах, и представить его в виде
^<0|Y> "\р(0)
(XI | Y) Y(1) (Х1)
Y)-^- (xt, х2[ Y) Y<2>(Xl,x2) Ут(хих2, ...х„)
(х4, х2, . . . х„; п\ У)
(6.80)
Скалярное произведение двух векторов | Т) и | Ф) определяется следующим
образом:
СО
(ф| Чг) = 2 ^ ^Хд (Ф | х1т х2, . . . х„; п)
(xt, х2, . . . х„; п\ ?) =
п=0
= +2 S dXl • • • S <г*"ф1п> (хи Х2> •
• • Х") (Xi, ... х„). (6.81)
71= 1
Равенство (6.78) теперь имеет вид
г): (х)
а равенство (6.79) гласит:
'ljr(O)
Уа) (Xl) Yb>(xi,x2) -
\р>о> Y(1> (xt) Y™ (Хь х2) YT у<*> (х) /2 Y(2) (х, Xl) у"3 Y(3)
(х, xt, х2) (6.82)
^(Хь Х2, ... Х„) уи+1^+»(х, х(, х2, ... х„)
ф* (x)
^(хв x2, ... x„)
0
(^^^(X-Xi)?""
(2)-3/2 {6 (x- x,) Уа) (x2) + 6.(x - x2) Уа) (x,)}
(;n) 1/2 2 s (xz — x) Y01'1’ (xt, . . . хг_ь xm, . . . x„)
г=l
(6.83)
Тот факт, что в соотношении (6.83) равна нулю компонента вектора
ф*(х)|ЧГ), соответствующая п = 0, следует из того, что эта компонента
определена как (01 ф* (х) (Y). А этот матричный элемент равен нулю по
определению состояния без частип>0 = ф (х) 10) или, если взять
сопряженное равенство, 0 = (0]ф*(х).
140
Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Описанное выше представление, характеризующееся диагональностью оператора
N, известно как описание в пространстве Фока, или в конфигурационном
пространстве. Представления (6.82) и (6.83) для операторов ф(х) и ф*(х)
наглядно показывают их свойства как операторов рождения и уничтожения.
Например, ф(х) преобразует вектор | }, у которого не равна нулю лишь
компонента (х1; ... х„; п\), в вектор ф(х) |), у которого отлична от нуля
лишь компонента (х4, х2, ... x„_i; л—1|ф(х)|), т. е. ф (х) преобразует л-
частичное состояние в (п — 1)-частичное состояние. Отметим также, что в
выражениях (6.82), (6.83) свойства симметрии состояний не изменяются:
симметричные состояния переходят в симметричные. Далее, можно проверить,
что при таком представлении операторов ф (х) и ф* (х) выполняются
перестановочные соотношения (6.65) и (6.66).
§ 7. Случай антисимметричных волновых функций
Описание совокупности фермионов совершенно аналогично изложенному в
предыдущих параграфах. На самом деле описание фермионов даже проще,
поскольку антисимметризованные базисные векторы 3{П1, п2,.. .у (xi, ...
хп) таковы, что лг<:1, т. е. лг может быть равно только 0 или 1. Чтобы
доказать это утверждение, предположим, что функция Ga,^... хп1)» ПРИ
действии на которую антисимметризатор А дает функцию ^{щ,п2 •. •}>
