Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 71

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 373 >> Следующая

со ,
2 nt = п, причем пока мы не конкретизируем вид волновых функций
i '
фДх) = (х|;), к которым относятся числа п;, потребуем только, чтобы-
система функций была полной и чтобы функции были собственными функциями
полного набора наблюдаемых для одной частицы. Предполагается, что
гамильтониан системы имеет вид
Н = ^ dx\p* (х) @е (х) ф (х) +
+ у \^dx ^йх'ф* (х') ф* (х) С/(х, х')ф(х)ф (х') = #о + #ь (6.142)
где
^(xh-?v-+f(x)’ (б-143)
U(x, х') = ^м- (6-144)
Здесь V (х) описывает внешнее поле, например кулоновское поле ядра. Если
ввести операторы рождения и уничтожения а*, аи
СО
ф (х) = 2 фг (х) аи (6.145)
г=1
го с помощью этих операторов можно переписать Н следующим образом: Н =
hijtti dj j &i dj dfrdi djihl, (6.146)
ii ijkl
где
^ dxcpi (x) (x) (x), s (6.147) ?
“ИМ = § dx ^ dx'yi (x) фу (x') U (x, x') tph (x) фг (x'). (6.148)
152
Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Нетрудно пыразить среднее значение гамильтониана и состоянии |щ, п2, ...
nt. ..). Рассмотрим сначала член
{пи т, ... nt. . . \ Н0\пи п2...) = 2 (”i> ^2. • ? ] а* а, ]п,,
п2...} Ьц- (6.149)
i]
Поскольку оператор а* рождает частицу в состоянии ?, а оператор а}
уничтожает частицу в состоянии /', то вектор а* а}\пи п2, . .. п,. .
.rij. . .) с точностью до фазового множителя равен
ni (1 — ni) \пи п2, • . .и; + 1,. . .rij— 1.. .) и, следовательно,
ортогонален вектору | пи пг, . . .щ. . .П)...), если i=?j.
Таким образом, в сумму по / дает вклад лишь член с j=iu
{П^2. . .[//0 | П(П2. . •) = 2 nJlu- (6.150)
г=1
Замечаем также, что для
(«1^2.. . I Я/1 щп2. • •) = у 2 (п1”2- • • | at aj ahai \п,п2. ? .} ища
(0.151)
ijkl
матричный элемент справа отличен от нуля только при j=l и i — k, или
когда i — l и / == к, так что
(п,п2... |/ij) гергг- • ?) = ту 2 (л 1^2... | a* a* ata} J щп2 ? . .)
+
i j
1_ v >
yS
ъ*
1
ij
(прг2. . . ajaUt-ii; илу. . .)иПл =
V (n,n2. ? • | а* а*агау-|n,n2- • •) («л/; — (6-152)
где последний шаг следует из того, что ataj== —djO-i.
Используя соотношение антикоммутации, имеем
а*а*ага} = — сц а{-а*а/ + а*а} бг/ = — N tN} + Nfiij, (6.153)
так что окончательно
(п,м2. . .1 Яг j н,п2. • •) = т 2 nini (иЛЛ — иЛи) (6.154)
ij
и
(lltn2. . . \ И \ П,«2 • ? •) = 2 }гп1Ц + Y 2 п*п* (ипл uJHj)•
(6.155
г ? ij
Если одночастпчнъте волновые функции обозначить через <рг(х, ?) (теперг
мы явно выписали спиновую переменную), то
2 '
hjj = 2 \ ^ Q [ - ? т2 + у (х> 1 ^ <х’ ^ (6-156)
* 1,
Ujiji = 2 55 d3x'vj (х' ®фг (х,> ^и^х^ф;^ ^ф;(6Л57) XT'
н/ш=2 § ЙЗж 5 ЙЗж'фЛхЛ)ф*(х'> ?')СЦх, х')фг(х, ?)ф,-(х\ С')- (6.158)
§ 11. Метод Хартри — Фока.
153
Отметим, что ф 0 только в том случае, когда состояния i и / соответствуют
состояниям электронов с параллельными спинами. Поскольку кулоновское
взаимодействие V (х, х') = e2/j х — х' не зависит от спина, можно
провести суммирование по спиновым переменным ?, ?'. Если
состояния \i) и j/) таковы, что электроны имеют антипараллельные
спины, то эти состояния будут ортогональны по спиновым переменным. Если
ввести матрицу плотности
ек. (х, х') = (пф,-.. 1(х) %- (х') i фф- • •) =
= ^ффг(х, ?)фг(х', ^') = q?-e(x', х), (6.169)
г
то с ее номотцыо можно выразить обычную плотность заряда
Q (х) = И ^ Ф • Фг (х- О ]2 = б?? (х- х) (6.160)
i ? ?
п член с гамильтонианом взаимодействия
(«1«2. • • 1 H i \ щп-у. . .) = ~ ^ dax ^ d3;/ ~
а'
Получающиеся члены интерпретируются следующим образом. Первый
соответствует кулоновскому взаимодействию между заряженными облаками
электронов. Отметим, что этот член включает кулоновское само-денствие
каждого электрона. Второй член (с обменным взаимодействием электронов с
параллельными спинами) нейтрализует чдены самодействия и дает вклад в
энергию взаимодействия. Этот вклад возникает из-за корреляций между
частицами в силу принципа Паули.
Метод Хартри —Фока [358, 262, 732] состоит в отыскании таких
одноэлектронных волновых функций, что построенная лз них
функция
(Х(, х2. . .х„ п^п2. . .) минимизирует (ищ2- • • | Н \ пФг- ? ? )?
Требуется также, чтобы эти одночастичные волновые функции были
ортонормировании Если ввести величины
vc/=2 ) dSx(Pi(x’ 0фЛх’ 0’ (6.162)
?
то ф; определяются требованием, чтобы энергия (и,и2. • . I 7/ { ЩФ- ? ?)
была стационарна но отношению к вариациям функций ф; при условии (6.162).
Пусть — множители Лагранжа для соответствующих дополнительных условна.
Тогда условие стационарности имеет вид
б {(ЩПг. ? ? | II [ П1Щ. ? ?) — У\ XyVj;} = 0. (6.163)
а
Уравнения для определения функций ф получаются варьированием ПО (| ;
С) - г (х) Щх, -) \d"‘ Тз (ч'
-«•2$ <*v -п(,д1"Г' - °2(»• о- (#ам).
' ^ I
\ d3x \ d:\< 1
(X, X ) j-
! X — х' !
(6.161)
154 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Это уравнения Фока. С помощью линейного унитарного преобразования функций
ф всегда можно выбрать решения так, что Кд будет диагональной матрицей.
Поэтому мы рассмотрим лишь Kjj и обозначим их через Еу Правая часть
(6.164) становится равной е^фДх, С). Теперь нужно решать эти уравнения
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed