Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
такие линейные комбинации функций G, которые имеют нужные свойства
симметрии. Обозначим такую симметризованную функцию через 3{Пъ п2, п3..
.}• Симметризованная функция 3{Пу может быть получена из любой функции
Gx^...xni соответствующей некоторой последовательности {«} = {«!, п2
...}, если применить к ней оператор Л, т. е.
3{щ, П2. • (ХЫ Х2, ... хг.) = (хг, х2, ... XnlAIGxxXa...^). (6.28)
Последовательность {лг, п2, п3 .. .} при HJ + H2 + ? • • ~п однозначно
определяет симметризованную или антисимметризованную функции 3 у щ. „2,..
л-Однако такая функция 3 {П1, п2, ...} не нормирована, хотя (§{„}, 3{П'у)
— 0, если не выполнено условие {и} = {и'}, т. е. если не выполнены
равенства п1 = п'1, п2 = »2 и т. д. Обозначим нормированную функцию 3
через Ф{пп{уП2,_,}, т. е.
ф[пп[,п2, х2- ••• х„) = ЛГ{п}(х1, х2, ... х„|Л|Сх1х2...л„) =
= (х^, х2, Х3, ... Хя | пи2, ... Ир . . .), (6.29) где А{П} — постоянная
нормировки, которая определяется из условия
(ФрП]., п2, ...}, ФЙ.пг, ...})= l = A^n} f GxjXa. . .Хп, 2 ? ?
. Хп^) •
(6.30)
§ 4- Случай симметричных волновых функций
131
Эту формулу можно еще упростить, если заметить, что функции ? ? ? Ъп(xi
хп) являются произведениями волновых функций:
{U pG^)%^%2. . . Ял (х 1 • * • хя) ? -Vi(Xai’ * • * x<4z)
= (ха1|^1> • • • (Xan|^n> = (X1iXg1> . . . (х„|А,р„) =
= G4i%fo-? ••• х") —СР'Ч?ч^2...я„} (х15 ... х„),
(6.31)
где совокупность {A,gl, .. . ХрД получается из {А-!, ... Хп} с помощью
перестановки Р'1. Поэтому можно переписать (6.30) в виде
^”>=^T 2 ^(^1.^2, ...*„> G^p2..-xgn). (6.32)
р
где суммирование проводится по всем перестановкам {f^, fi2, ... {Jn}.
§ 4. Случай симметричных волновых функций
ф ,
До сих пор наше обсуждение было общим и было применимо как для
симметричных, так и для антисимметричных функций. Однако теперь вплоть до
§ 6 мы будем рассматривать только симметричные волновые функции. Для
вычисления нормировочного множителя в этом случае заметим, что если
функция Gx^.-.Xn такова, что все X различны, т. е.
1, тогда в сумму правой части (6.32) вносит вклад только тождественная
перестановка, и постоянная ЛДП> будет равна У п\. В общем случае, когда в
Gx1...xn функция g%i встречается nt раз, в равенство (6.32) вносят вклад
лишь те перестановки, которые переставляют частицы в одинаковых
состояниях. Число таких перестановок щ! п2! . . ., поэтому
N{vi,n2, ...}= П3\ ... ’ (6-33)
так что
п2> • • • nj ? • ?} (х1> х2> • ' ’ хп) = (хь х2, Х3 ... I И1П2 ... 71; .
. . ) =
= Vnjnli::. (Xi) ? ? • ^ М- <6-34)
р
t
где — оператор перестановки индексов у I, а суммирование проводится по
всем п\ перестановкам индексов п. Векторы | пъ пг ._..) для всех
возможных последовательностей {и} при 2П? = И образуют базис гиль-
г
бертова пространства возможных состояний системы п тождественных частиц,
подчиняющихся статистике Бозе. Полнота системы выражается соотношением
21 Щ, nz, ... щ, ...)(«!, п2, ... пи ... | = 1, (6.35)
где суммирование проводится по всем последовательностям п2 . ..}
СО
при 2 ni — п• Соотношения ортогональности выражаются равенством (6.26)
t=i
и в настоящих обозначениях имеют вид
(п1> Щ, ... Пи . . . | п[,п[, ... Щ, ...) = 6П1„;бП2П/ ... Ь * ... .
(6.36)
А ? • i i
132 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Произвольный вектор состояния |ЧГ(?)), описывающий систему га-частиц,
подчиняющихся статистике Бозе, может быть разложен по введенным выше
базисным векторам
I ^> = 2 К> ге2> ??? пи ...) (га1; п2 ...-Пи . .. I ? (t)). (6.37)
<«}
Коэффициенты разложения (щ, га2, ... пи ? ? ? | Y (t)} являются
амплитудами вероятности найти систему в момент времени t с пг частицами в
состоянии |А,'), п2 частицами в состоянии | X"), п, частицами в состоянии
| Х<г>) и т. д.
Функция преобразования (хх, х2, х3, ... х„; п \ щ, га2, .. .) является
«перманентом», т. е. детерминантом, у которого все перестановки
складываются со знаком плюс. Перманент может быть разложен по строке или
столбцу аналогично разложению детерминанта. Выпишем формулы разложения,
которые позднее окажутся очень полезными:
СО ___
(хх, х2, ... х„; n\nltn2, ... nit ...) = 2 х
г=1
X (х2, х3, ... х„; п— 1|гах, п2, ... Til — 1, • •.) (6.38)
(х1> х2> ? • • хл! И | nlt П2, . . . Tlj, ? ? • ) — (хг J К "’) X
V щп
X (Xj, х2, ... Х,._х, хг+1, ... Хп] п— 1 jn'i, га2, . .. гаг — 1, . ..).
(6.39)
Доказательство равенства (6.38) основано на том, что любая перестановка п
элементов может быть представлена в виде Р = QTm, где Q — перестановка
совокупности (2, 3 ... п), а транспозиция 1 и т. Поэтому симметризатор S
может быть записан следующим образом:
Л
*=и2 *=1(^2 «л»-*'-г 2 о.: (в.4о)
Р т, Q 771=^1
где §' — симметризатор совокупности (2, ... п). Поскольку G есть
произведение волновых функций, то
0nfi%\X2. . Лп (х1’ ••• *л) = ? Лп (xm> x2i ••• xm-l> xli
xm+li ••• xn)—
= G%mx2.. . Лп (xl> X2> • • ? x/i) —
= (Xm| х1)С?2..Лп(х2 ... x„); (6.41)
здесь G'— функция га—1 переменных с числами заполнения гех, ге2, ... ...
