Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Tii — 1 • - • I если числа заполнения у Схгх2.. лп были гах, п2, ... щ ..
. и Хт = Х<г). Поэтому можно написать
Ф{т,п2, ...>(х1, х2. ••• хп) = ^{пу^х1Х2..Лп(х1: ••• хл) = п *
1 хл
= N (пу — S ((Xm I xi) G'x2. . . ^m_jXLA.m:,j ? ? ? 1-П (x2 ••• xn)) —
m=1
= 21 |/-^(^)!х1>Ф{"7,™2, ...n.—i....i(x2 ... x„). (6.42)
i=rl
§ 5. Операторы рождения и уничтожения
133
Множитель y’riiln возникает из-за различия нормировочных множителей для
функций Ф(,1> и Ф(п-1>
М-1, ]/ir •. .-,-1, •.. > (6-43)
и из-за того, что сумма по т была заменена суммированием по заполненным
состояниям 2 что эквивалентно 2- Если переписать равенство
г т
(6.42) в обозначениях Дирака [см. (6.34)], то получается равенство
(6.38). Полностью аналогично доказывается равенство (6.39). Так как S =
QS для любой перестановки Q, то § = §>§', где S'— симметризатор
совокупности (2, ... п). Принимая, что |Х<1>) присутствует в G*,^.. т. е-
rij Ф 0, можно написать
Ф{пъп2, ...п., ...у(хи ••• x„) = 7Vr{„>§G^2.. А„(Х!, х2, ... х„) =
= iV{„}§ ((X(i> I хх> G' (х2 ... xR)), (6.44)
где функция G' характеризуется числами заполнения п1, п2- . ? ? щ — 1,
... . Поэтому, подставляя §§' вместо §, получим
Ф{П1, n2, . .. д.. . . > (Хц Х„ . . . Хд) =
= Vir $((Vi> 1 Xl)ф<"^. •• ?} (*»• *3 • • • *»))? (6.45)
Используя равенство (6.40), окончательно имеем
п
Ф1"1, Vi. . . .п.. . ,y(xv ... Хд) = 2 Т7= ^(i> IХ
,ti
ХФ{"Д...»Г!,...}(Х1, Х2, ... XZ_J, Xt+, ... Хд), (6.46) что совпадает с
равенством (6.39).
§ 5. Операторы рождения и уничтожения
Введем теперь оператор аг, определенный так, что
аг|/гь п2, щ, .. .) = ]Лп’г|п1, п2, ...щ — 1, ... >. (6.47)
Оператор а* называется оператором уничтожения, так как он уничтожает
частицу в состоянии |Х(1>). Матричные элементы этого оператора
(/11Т П2, ... Til. . • * • , ^ | &i | , ^2, * • • Hj, . . . , /i) —
= бтцп'бд^д' ... 6„ _j ^ ... 6rt’,n—l (6.48)
l i » i
равны нулю, если не выполнено равенство п' = п— 1. Отметим, что а{
определен в гильбертовом пространстве е%?<0) © 36ЛХ) © Зв™ © • • •, где
е%?(п> — гильбертово пространство для системы п частиц. Из определения
операторов аг следует, что а; и а;- коммутируют/ •
[аг, aj]=0. (6.49)
Введем далее эрмитово сопряженный оператор а*, который определяется .
равенством
(?, a?>) = (af?, Ф), (6.50)
134
Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
так ЧТО
а*\пи п2, ... nh .. .)~Vni+l\nu п2, ... Пг + 1,_____>. (6.51)
Оператор а* называется оператором рождения, так как, действуя на «-
частичное состояние, он превращает это состояние в состояние с п -4-1
частицами, увеличивая на единицу число частиц в состоянии |?i(i)).
Матричные элементы этого оператора
(«1Т «2, . . . • . . , И j Щ | Щ, «2, * • • 7lf, . . . , 71 ) =
— l' “Ь 1 n-j-i6nin' . . . 6и (6.52)
равны нулю, если не выполнено условие «' = «-)-1. Заметим далее, что
[а|, aj]=0, (6.53)
в то время как перестановочные соотношения для аг и а| следующие:
[aua]]=bij. (6.54)
Последнее соотношение проверяется непосредственным вычислением результата
действия левой части на произвольное состояние | пи п2, ... щ, ...
rij ...). Наконец, видно, что эрмитов оператор Ni=a*ab
действуя на состояние | щ, п2, . .. «г, ...), дает nt | щ,
п2, ... /гг, ...),
т. е. этот оператор показывает, сколько частиц находится в состоянии
[Х(г)). Оператор
N, = а *аг (6.55)
называется оператором числа частиц в состоянии i, а оператор
СО
N^'ZNi (6.56)
г=1
— оператором полного числа частиц, так как при действии на состояние |
«!, п2, ...) он дает
ОО
2j ni I nl' ПП ? ? • ) = п | и1> пъ • • • )•
г=1
Изложенное до сих пор можно представить несколько более абстрактно с
помощью операторов рождения и уничтожения а* и аг. В силу перестановочных
соотношений для а* и aj операторы числа частиц в различных состояниях
коммутируют: [Ni, ЛГ;-] = 0. Поэтому существует представление, в котором
все операторы Nt диагональны. Обозначим базисные векторы этого
представления через | щ, п2, .. . пг, ...). Заметим, что перестановочные
соотношения для Nt и операторов рождения и уничтожения имеют вид
[Nи at) = at, (6.57)
[Ni, at]= -ah - (6.58)
так что
(... щ ... | [TVj, a?] | ... Щ ...} = (... n'i ... | a* | .... щ ...)
(6.59а)
(п\ — n— 1) (. . . n'i .. . | a* | .. . щ . . .) = 0. (6.596)
Отсюда видно, что этот матричный элемент оператора а* равен нулю, если не
выполнены условия щ = щ + 1 и п ,? — щ при ] ф i. Будем инте-
§ S. Операторы рождения и уничтожения
135
ресоваться теперь собственными значениями оператора Nt. В силу
перестановочных соотношений (6.57), если | v;) — собственная функция
оператора Nt с собственным значением v?l то а* | vt) — собственная
функция Nt с собственным значением Vj+1.
Доказательство:
Niat\vi) = {<?iNi + [Nu аШ I vs-> = (vt+ 1) а* | v,>. (6.60)
Используя (6.58), можно проверить, что а* ] vt) — собственная функция N,
с собственным значением v, —1. Аналогично, (a;)m|vj) есть собственная
функция Ni с собственным значением vt — m (иг — целое положительное
