Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 62

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 373 >> Следующая

состояние в антисимметричное, так как для любой наблюдаемой О системы п
тождественных частиц UP0Up"1=0, так что (?s, 0?a) =(6TT4fs, UtOUt1UtVo) =
= — (Ys, OWa) = 0. Наконец, поскольку гамильтониан инвариантен
относительно Up, т. е. H—UpHUpхарактер симметрии состояния сохраняется во
времени.
Чтобы построить симметричные и антисимметричные волновые функции из
произвольных функций п переменных xt, х2, ... х„, определим следующие
операторы:
S = (6Л8)
Р
л=^г (6-19>
р
где суммирование идет по п\ элементам симметрической группы п-то порядка.
Оператор S называется симметризатпором, а А — антисиммепг-ризатором.
Основания для такого названия будут вскоре ясны. Можно объединить
обсуждение свойств этих операторов, если ввести оператор
А = 7*г2^р- . (6-2°)
р
Когда Кр= 1, Л = 5, а при Хр = 6р, Л = А. Оператор А обладает следующими
свойствами:
а) Л эрмитов,
б) AUp = UpA для любой перестановки,
в) Л2 = Л, т. е. А есть оператор проектирования.
Доказываются эти утверждения совсем просто. Чтобы доказать свойство (а),
заметим, что, поскольку Up образуют унитарное представление
!) Здесь А — оператор Up в конфигурационном пространстве. —Прим. ред.
§ 3. Пространство чисел заполнения
129
симметрической группы, UpUp-i = UE = i, так что Up-i=[UP]~1 и поэтому в
силу унитарности Up) U% =Up-i. Используя свойство 6p = 6p-i, имеем
= (6-21)
р
Но поскольку совокупность перестановок Р образует группу, то можно
заменить суммирование по Р суммированием по Р-1, и, следовательно,"' Л* =
Л. Чтобы доказать свойство (б), заметим, что Используя
равенство (6.7), имеем
AU? = ТА 2 WqUp = ~ VP ^ 'KqUqp A,qpUqp. (6.22)
Q Q Q
Снова в силу группового свойства элементы QP при фиксированном Р
и при Q, пробегающем всю группу, исчерпывают группу, так что 2 = 2
Q QP
и AUp = ‘kpA. Аналогично проверяется, что UРА = ХРА, так что свойство (б)
доказано. Наконец, чтобы доказать свойство (в), используем свойство (б):
A2=Ai2W3=
Q
= ТгЕ^А = Л. (6.23)
Q
Последнее равенство имеет место, ибо 21 —^ Таким образом, симметри-
затор и антисимметризатор являются операторами проектирования. При любом
векторе | Т) гильбертова пространства оператор S (А) проектирует его на
подпространство симметричных (антисимметричных) состояний.
Доказательство: Согласно свойству (б), UtS | Т') = S \ Чг). Аналогично,
f7rA|4f)= — А]1?), так как 6т = — 1 для любой транспозиции Т.
Эти свойства оператора Л часто используются, чтобы упростить вычисление
нормировочных интегралов и средних значений, наблюдаемых для симметричных
или антисимметричных состояний. Так, если ] 4е) = Л | Ф), где |Ф) —
вектор, не обладающий свойствами симметрии, то среднее значение
наблюдаемой О в состоянии | Т') есть (Ч'Т ОЧг) = (ЛФ, ОЛФ) = = (Ф, 0Л2Ф)
= (Ф, ОАФ), так как О к Up коммутируют. Поэтому при вычислении среднего
значения необходимо использовать лишь одну соответствующим образом
симметризованную волновую функцию А | Ф).
§ 3. Пространство чисел заполнения
Для многих приложений очень полезно характеризовать систему п частИц с
помощью одночастичных наблюдаемых. Такое описание заключается в задании
амплитуд вероятности частицам находиться в состоянии |Я/), пг — частицам
в состоянии |Я,").и т. д., причем |^) — собственная функция полного
набора наблюдаемых одночастичной системы, характеризующаяся собственными
значениями X, и n1 + n2 + n3+...=n. Чтобы осуществить такое описание,
построим сначала соответствующим образом симметризованные базисные
функции. Пусть V), | X") ... и т. д.— полная ортонормированная система
одночастичных состояний, так что
9 С. Швебер
130 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
если (x|X) = gx(x), то
<А,|Г) = аи' =
= ^ (X|x)dx(x|X')= ^ gk (х) gv (х) dx. (6.24)
Определим теперь функции
, GXlx2.. .%п (хг, х2, ... хп) = gXl (хг) gx 2 (х2) ...gxn (хп).
(6.25)
При скалярном произведении (6.9) эти функции ортогональны:
(Gxxx2...л„» ... 6,^. (6.26)
Система функций Gx образует полную ортонормированную систему функций п
переменных, если система {gx} полная.
Вместо того чтобы определять Gx^.-.Xn совокупностью чисел {Xj, . .. Яа},
можно определить G, если задать, какие собственные значения %', X", . . .
встречаются и сколько раз каждое из них повторяется. В этом случае G
определяется с помощью бесконечной последовательности целых чисел щ, и2,
..., которые называются числами заполнения, так что щ —число, которое
показывает, сколько раз gx' (с любым аргументом) встречается в Gx^.-.Xm и
вообще иг —число, которое показывает, сколько раз встречается gx(i)-
Ясно, что
СО
2га, = п. (6.27)
i=l
Однако такое определение G неоднозначно, так как UpG, где Up —
произвольная перестановка, имеет те же числа заполнения, что и G. Этот
произвол не ведет к каким-либо трудностям, поскольку при физических
приложениях представляют интерес лишь выражения с соответствующим образом
симметризованными или антисимметризованными функциями, т. е. с функциями
3, которые удовлетворяют условию АЗ — 3. Поэтому мы должны образовать
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed