Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
такова, что лг > 2. Это означает, что GxiA2 ? ? ? An (*i • • • х„) имеет
вид (xt | ... (xr | Kw) ... (xs | K(i)} т. е.
по крайней мере два собственных значения одинаковы, скажем s-e и г-е.
Пусть <7rs — транспозиция, переставляющая r-ю и 5-ю координаты. Тогда
3гв^к 1X2 • • ? Хп (xi, х2, • * * х„) = ?*XiX2 • * • Хп (xi, • • • хп),
откуда
^{П1,
1 . .Хп = rs^XiX2.. .Хп = — "^GxjXa ... Хп = 0- (6.84)
Мы использовали свойство (б) антисимметризатора (см. § 2, стр. 128),
согласно которому для любой транспозиции J имеем ~ — <#'• Следовательно,
& = 0, если не все hi различны, т. е. если nt Ф 0, 1. Поэтому постоянная
нормировки Nfhi, п2,... nt. ..> = V^-, и антисимметричные векторы базиса
суть
(хь х2, .. . х„; п I пи п2, .. . щ) = —?=г У. 6р<f> (gH (Xi) . . . gXn
(xn)) =
У и! и
У га!
<Xi I А.1> (Xj I h2) ... (х, I Ю
<х21 A.!> (х21 К2) ... (х21 Ю
(х„ | (Х„ | h2) ... (х„ | hn)
(6.85)
Из записи в виде детерминанта очевидно, что никакие две функции gx не
могут быть одинаковыми, так как тогда два столбца были бы одинаковыми и
детерминант оказался бы равным нулю.
Формулы разложения, аналогичные формулам (6.38) и (6.39) для случая
симметричных функций, являются обычными разложениями детер-
!) Для удобства примем, что А,* А2 < Аз ... <1 Ап.
§ 7. Случай антисимметричных волновых функций
141
минанта по строке или столбцу. Если кт = л(1\ они имеют вид
, Хг, . . . хп; п | щ, Иг, п2, ? ? • Пь • • -) — 2 ,/— ( (xi I ^п»)
X
лА п
т=1
X (х2, х3, . • ? х„; п — 1 |nj, п2, . .. щ — 1 . . .) =
= -4=- 2 (xi|Xci)>ni(— 1)5Чх2, х3, • • • хп; И-l |nt, ... пг—1, . ..),
(6.86)
Уп ti
Где
Sj=?nk (6.87)
fe=i
равно числу занятых состояний до /-го состояния. Вторая формула
разложения есть
П
(хи х2, ... х„; п | пи п2,-...щ, ^ У, (— l)i_1 {xi | Кт) X
у п (=1
X <xt, Х2, . .. хг-1, хг+1 . . . хп; п — 11 п2, . .. пг — 1, ...).
(6.88)
«
Определим теперь оператор уничтожения а,- с помощью равенства
dilrii, п2, ..., щ ... ) = ( —l)8iraj|rai, п2, ...), (6.89)
а сопряженный оператор’-*- равенством
а* | Щ, п2, . .., щ, . ..)==( — l)Si (1 — ?гг) 1 /г4, п2, . .. пг + 1, ..
.). (6.90)
Множитель (1 — пг) в определении сопряженного оператора гарантирует, что
если состояние |Х<г)) уже занято, то вторая частица не может быть
помещена в это же состояние.
Легко проверить, что перестановочные соотношения для операторов а, а*
имеют вид
[аь aj]+-= [at, <]+ = 0, . (6.91a)
[ah а|]+ = бг7 (6.916)
{[А, В]+ = АВ-\-ВА есть антикоммутатор А и В), поскольку
aiat\nu п2, ... пи ...) = ( — 1)2S; (1 — пг) {щ + 1) | щ, ... пь ...),
(6.92)
atuiln^ п2, ... пи ...) = (— l)2si (2 —иг)пг| и15 ... пи ...}
(6.93)
и п\ = пь так как Иг = 0, 1. Отметим равенство а\~а*2 = 0,
которое
является операторным выражением того,.-что ни одно состояние не
может
иметь число заполнения, большее единицы. Оператор числа частиц в i-ом
состоянии опять имеет вид ./V/= а*аг-. Теперь он дополнительно обладает
свойством оператора проектирования, поскольку
N\ = atafdtai — af (1 — а*а;) at — а*а\ = Nu (6.94)
так что его собственные значения равны 0 и 1, как и следовало ожи-
дать. Если определить операторы
Ф (x) = 2j (х | ^(i>) а и (6.95а)
4__________ .
Ф*(х) = S(x| №>)ai, (6.956)
i42 ________Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская
теория
то они будут удовлетворять следующим перестановочным соотношениям: [ф(х),
ф*(х')]+ = 6(х — х'), (6.96а)
[ф(х), яр (у)]+ = [ф* (х), ф*(у)]+ = 0. (6.966)
Операторы ф и ф* в пространстве Фока имеют вид (х4, х2, ... x„; ге | ф
(х) | ф-) = (ф (х) (хх, х2, ... хп) =
= Уи+1 (х, х15 ... хп; 71+11^) =
= Уге + 1 ф("+П (х, х1? х2, ... х„) (6.97).
и
(х15 х2, ... хп; п | ф* (х) j Ф) = (ф* (х) ф)(") (xu х2, ... х„) =
П
= 2 (-1)!_1б(х —хг)?(""ц(х1, х2, ... X;.!, х,+1, ... Х„).
(6.98)
' и г=1
Наконец, как и в случае симметричных функций, равенство (6.85) можно
переписать следующим образом:
(хь х2, . . . xn; n\ni, п2, ... п}, .. .) =
= —Д— (0 |ф (хл) .. . ф (хО | Hi, пг, ... rij, ...), (6.99а)
]/ /г!
-откуда
Л|х1; х2, ... Х„; п) = —^= ф* (хп) ... Ф*(Х!)|0). (6.996)
У п!
§ 8. Представление операторов
Далее мы получим представление в пространстве чисел заполнения для
некоторого оператора F, который не меняет число частиц и вид которого в
конфигурационном пространстве известен:
(хф х',.. .х'д| F | х15.. .хп) = Ьrm’F(n) Xi, х2, . .. хп)б(х1 —х() . . .
б(хп—х'п).
(6.100)
Используя условие полноты базисных векторов | х15 х2, ... х„), получаем
следующее выражение для оператора F в пространстве чисел заполнения:
{п\, п2, ... \ F\n1, щ, .. .) =
= ^ dx1 ... ^ dxn ^ dx' . . . ^ dx'n (тф, п\ ... | х', ... х^) х
X (хг, х2, . .. xn [ F { х15 х2, ... хп) (х15 х2, ... хЛ j ть2 ...
...) =
= ^ dxx . . . dxn {nv ... nl ... \ х1 ... xn)F (хь х2, ... хп\ п) X X
(х1т х2, ... х,,!^, га2, .. .) =
= -^ dxx . . . ^ dx„ (тгф ... и» ... | ф* (хл) ... ф* (хх) 10) X
X F {щ хг, х2, ... хп) (0 j ф (хД ... ф (xn) | nlt п2, ...),
(6.101)
где п' + тг2 + . . . = nj-|-n2 + • • • — п. При выводе последнего
