Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
= i Jdx>*(x', t)(U(x', у) + U(у, х'))ф(х', о’l’(у. 0- (6.129)
Учитывая, что по предположению ?/ (х, х')=Г/(х', х), получаем второй член
в равенстве (6.126).
При отсутствии взаимодействия между частицами, т. е. когда Hj = 0,
уравнение движения для оператора ф формально совпадает с уравнением
Шредингера для одночастичной системы. Однако шредингеровская волновая
функция заменяется оператором, который удовлетворяет определенным
перестановочным соотношениям. Поскольку само уравнение Шредингера было
получено с помощью «первичного квантования», при котором переменные р и q
в гамильтониане классической теории заменялись операторами,
удовлетворяющими перестановочным соотношениям [qj, pi] = = ih bji, то
вторичная замена коммутирующей функции (волновой функции) оператором
называется «вторичным квантованием». Таково происхождение названия
«вторичное квантование» для рассматриваемого формализма. (
§ 10. Системы из многих невзаимодействующих частиц
В качестве первого примера применения операторного метода опишем с
помощью вторичного квантования систему п частиц, которые движутся
свободно, не взаимодействуя друг с другом. Гамильтониан такой системы
есть
Н = — \~ ) Ч*(х> t)V*y]p(x,'t)dx, (6.130)
оператор полного импульса
Р:=4г 5 0v4(x, t)-vr(x, 0-Ч(х> 0), (0.131)
а оператор числа частиц
N-= ^ ф* (х, ?)ф(х, t)dx. (6.132)
Oneparopj.i ф и ф* удовлетворяют перестановочным соотношениям:
[ф(х, t), ф*(х', <)]±- = б (х— х'),
[ф(х, t), ф(х', <)]± = [ф*(х, t), ф* (х', t)]± = 0 (6.1331
и уравнениям движения
Й1Й(ф (х, t) = [ф (х, t), Н] = —У2ф(х, I). (6.134)
Поскольку [Н, Р] = 0, удобно описывать систему с помощью плоских воли,
характеризуя каждую из них волновым вектором к (ы, если нужно, индексом
поляризации или спиновым индексом). Мы получим такое описание, если
введем разложение s
ф(х, 0 = ^2аЖ(к'Х~“к,)’ (6.135)
^ к
150 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
.причем Юк = hk2/2m, так что ф(х, t) удовлетворяет уравнению (6.134).
Предположим, что система находится в большом ящике с объемом V = L3, и
потребуем выполнения условия периодичности на границе. Тогда разрешенными
значениями kt будут kt = пь(2л/Ь), где = О, ±1, ±2 и т. д. В пределе при
F—> оо сумма по дискретным значениям к заме-
1 \ 1 г
няется интегралом по dk, причем -у 2 —*? ~^Щз j Перестановочные
к
соотношения для операторов а*, а суть
[ак, ак'] = 6 (к — к'), (6.136а)
[ак, Як'] = [ак, Нк'] = 0. (6.1366)
Для рассматриваемой системы можно выразить перестановочные соотношения и
для гейзенберговских операторов с разными временами:
ж*, *), !>*(*'. aM^(k'X'fflk,,«~i(k'-X'"Bk'() =
kk'
= -Г S = -JL. J dk eix-(«')-tok(«-<') . (6Л37)
h
Наблюдаемые (6.130) — (6.132), выраженные через операторы а, а*, имеют
вид А,
Н=Ъ^Га*^ (6Л38)
к
Р=2^какак, (6.139)
к
w=2ei«*- (6-140)
к
Обозначим основное состояние системы п невзаимодействующих фер-мионов
спина х/г посредством |Ф0(гс)). Это такое состояние, которое получится,
если последовательно заполнять каждое одночастичное состояние, начиная с
состояния при к = 0, и до тех пор, пока не будут размещены все частицы.
Основное состояние характеризуется тем, что пк — 1 при |k|</i:j? и пк = 0
при | к| > Ajjr, где кр — импульс Ферми, определяемый
равенством h2k3FV = nh3. Мы примем, что сфера Ферми заполняется
сферически симметрично. Тогда получающееся состояние имеет импульс,
равный нулю. Поэтому основное состояние можно абстрактно характеризовать
как такое состояние, для которого ак|Фо(и)) = 0 при |к| > кр. Энергия
основного состояния есть
(ФоН, ЯФ0(п)) = 2 2 =
0
Множитель 2 появляется из-за учета спиновых состояний частиц. Отметим,
что качественно роль статистики Ферми заключается в том, что частицы с
относительным импульсом р не могут подойти друг к другу
§ 11. Метод Хартри—Фока
151
ближе, чем на расстояние %/р. Действительно, если система состоит из п
частиц и допустимый объем есть V, тогда среднее расстояние между
частицами приблизительно равно а — 3’ и^° на каждую
частицу
приходится объем -|-ла3 = -^-. Поэтому средний импульс одной частицы
% Г 37 \-Уз ° f>2 %2 f 4л«Л2/з
’ а сРеДняя анергия j , так что полная
энергия приблизительно равна пр2/2т, т. е. пропорциональна Vkp (%2/2т).
В основном состоянии системы невзаимодействующих бозе-частиц все частицы
находятся в состоянии с к = 0. В этом случае основное состояние
характеризуется тем, что п0 = п, а пк = 0, если к Ф 0, так что ак|Фо(гс))
= 0, если к Ф 0. Энергия и импульс такого состояния равны нулю.
§ 11. Метод Хартри —Фока
В качестве другого примера применения формализма вторичного квантования
рассмотрим приближение Хартри —Фока для системы п электронов во внешнем
поле. Основное допущение этого приближенного метода заключается в том,
что вектор состояния системы можно аппроксимировать одним
антисимметризованным произведением волновых функций. Другими словами,
предполагается, что систему можно описать в пространстве чисел
заполнения, вектором |rej, п2, ... nt, ...) при
