Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
является интегралом движения. Ясно, что вектор состояния в этом случае
имеет вид
|Ф (*)>=—$ dx, ... ^ йхпФ^(Х),... хп;0Ф*(хп)...ф*(х1)|0>.(6.116>
Из того, что операторы ф* антикоммутируют друг с другом, следует, что
амплитуда Фт) (х4, ... xn; t) является антисимметричной функцией Х), х2,
.. ., Хд. При этом
Ф(п)(х1, х2, ....Хд,- /) = -~^=-(0|ф(х1) ... ф (Хд)‘) Ф (t)). (6.117)
у п\
Для п = 2 последнее равенство можно проверить непосредственно-. Используя
соотношения антикоммутации (6.96) и то, что ф(х)]0) = 0! для всех х,
получаем
§ 9. Гейзенберговская картина
147
-2Т<°ЖХ1ЖХ2)| Ф) =
= ~ J dx[ J dx; (01г)3 (xj) ф (х2) ф* (х;)>* (xj) 10),Ф(2) (х[, х'2) =
= -1- J dx; Л dx'2<0|i|3(x1)(-i|)*(x;)i|>(x2) +
+ 6(x2—x;))ij3*(x1)|0>if (х;, х;) =
= -^- ^ dx; ^ dx;{6(x2-x;)6(x2—х;)-
—S(xi — х;)б(х2—х;)}т(х;, х;) = чг<2)(х1, х2). (б.И8>
Здесь мы снова использовали антисимметричность Ф12’^, х2).
Аналогичную технику можно применить при выводе уравнения движения для
вектора состояния I^F). Так, например,
#о | Ф) = ^ dXi ... ^ dxjp* (хп) ... 1)3* (хО 10) X
71
x2-^-v^(n,(x‘х-)- (6-119>
7— 1
Для перемещения оператора 1)з(х) из Н0 правее всех операторов рождения
1)з* (хп) ... 1)з* (х^ были использованы перестановочные соотношения. Но
поскольку г)з (х) 10) = 0, получающийся в результате член не равен нулю,
и мьт приходим в точности к (6.119). Аналогичную процедуру можно
применить и к члену Hi. Скалярное умножение //|Ф) на вектор (xj, х2 ...
хп | ведет тогда к уравнению (6.113).
Хотя мы рассмотрели формализм с гамильтонианом, для которого число частиц
есть интеграл движения, должно быть ясно, что этот формализм допускает
непосредственное обобщение на гамильтонианы, для которых N уже не
является интегралом движения (например, если в НТ входит различное число
операторов ф и ф*). Рассмотренный формализм охватывает и такие случаи,
когда частицы рождаются и уничтожаются, как, например, в (3-распаде или
при рождении мезона в нуклон-нуклон-ных соударениях при большой энергии.
В этих случаях вектор состояния | Ф) имеет вид
I V) = Ф№> 10) + J ЙХ1ф* (Х1) Фа> (Х*)| 0) + ...
• • • + ^dxt ... ^ dx^* (хя) ... ф* (Xi) Ф(71) (Х1 ... хп)|0> + ...
(6.120)
и уравнения движения связывают амплитуды для п частйц Ф(п) с амплитудами
ф(тш, тп Ф п. Такой пример будет рассмотрен в:§ 1 гл. 12.
§ 9. Гейзенберговская картина
До сих пор мы пользовались шредингеровской картиной. Все
операторы не зависели от времени, в то время как векторы состояния
от времени зависели. Гейзенберговская картина определяется с помощью
следующего унитарного преобразования:
|фн) = е«' |Ф8(0>, (6.121)
i ** i
фн(х, t) = еп Я(ф(х) я\ (6.122)
10*
148
Гл. 6. Вторичное квантование. НереляПгивистская теория
Это унитарное преобразование таково, что шредингеровская и
гейзенберговская картины совпадают при t = 0. В последующих формулах мы
опустим значок Н у операторов, поскольку зависимость от t подразумевает,
что они являются гейзенберговскими операторами. Одновременные
перестановочные соотношения для гейзенберговских операторов суть
[ф(х, t), ф*(х', /)]± = eh 'Ht [ф(х), ф*(х')]±е h Н> = 6(3) (х — х'),
(6.123а)
[ф(х, t), ф(х', г)]± = [ф*(х, <), ф*(х', г)]± = 0. (6.1236)
Коммутаторы при неравных временах в общем случае уже не являются с-
числами, и вычислить их намного труднее. В частном случае
невзаимодействующих частиц, т. е. при Hj = 0, для неодновременных
коммутаторов можно получить явное выражение (см. § 10).
Уравнение движения для гейзенберговского оператора имеет вид
i"hdtty(x, г)=[ф(х, t), Н]. (6.124)
Это уравнение получается, если взять производную по времени от (6.122). В
частном случае, когда гамильтониан имеет вид
Н = ^ dx ф* (х) Ж (х) Ф (х) +
^ dx ^ dx'ty* ^х')ф* (х) U (х, х') ф(х)ф(х'), (6.125а)
причем V (\) ис зависит от времени [так, Ж (х) = —- (h2/2m) V2 +
У (х),
где F (х) — потенциал внешнего ноля] и U (х, x')=U(x', х),
йд4ф(х, t) = де (х) ф (х, t) +
-f ^х'ф*(х', t)U(x’, х)ф(х', ?)ф(х, t). (6.126)
Для пояснения вывода правой части последнего уравнения рассмотрим второй
член, который возникает из [ф(х, t), Hi\. Поскольку гамильтониан не
зависит от времени, H = H(0) = H(t), то можно написать
Н = ^ dxф* (х, t) -Ж (х) ф (х, t) -Г
г .? ^ dx ^х'ф* (х', ?)ф*(х, t)U(x, х')ф(х, ?)ф(х', t). (6.1256)
Используя перестановочные соотношения (6.123), получаем
[ф(У> 0^ dx ^х'ф*(х', 0Ф*(Х> t)U(x, х')ф(х, <)Ф(х', 0_| =
= ^ dx ^ dx'[ф(у, t), ф*(х', г)Ф*(х, t)]U(x, х')ф(х, t) ф(х', t), (6.127)
поскольку [ф(у, г), ф(х, г)ф(х', i)]=0 как для бозе-частиц, так и для
ферми-частпц. Далее,
[ф (у. t), ф*(х', г) Ф* (х, t)] =
= Ф(у, t) ф*(х', г)ф*(х, t) — ф*(х', t) Ф*(х, t) ф(у, t) =
= б(у —х')ф*(х, t) + ф*(х', 0ф(у, t) ф*(х, t) — ф*(х', 0Ф*(х, <)Ф(у, 0 =
= 6(у-х')ф*(х, 0 + 6(х-у)Ф*(х', t) 7ляиполЯя Б.-эО (6Л28)
§ 10. Системы из многих невзаимодействующих частиц
14У
и окончательно
Жу> 0. НЛ =
= у ^ dx ^ dx'{ty* (х, t)6(y — x’)U(x, х')ф(х, i)4(x', 0 +
F Ч* (ХЧ t)d(x — y)U (х, х') ф (х, t)ty(x, t)} =
