Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
существует п\ перестановок. Если
/а, а2...а„\
'? = (р1 р2...р„)’ (6’2)
тогда произведение QP определяется следующим образом:
1 2 3 ... п
\Pi р2 Рз.-.рпу ’ (6Л)
причем QPxj = х$.. Тождественная перестановка, которая оставляет порядок
элементов неизменным, есть
1 2 3 ... п'
? \1 2 3 ... и/ (6-4)
Каждая перестановка Р имеет обратную перестановку Р~1, такую, что РР~Х =
Р~ХР — Е. Ясно, что обратная к Р перестановка есть
/СЦ а2.. .а„ \
= ( 1 2. . .п ) * <6-5>
Совокупность всех перестановок п объектов образует группу, которую
обычно называют симметрической группой, подруппы которой называются
группами перестановок. Транспозицией Т называется перестановка, при
которой переставляются только два элемента:
(I 2...к...1...п\
T-(l2 <6-6>
Каждая перестановка может быть разбита на произведение транспозиций. Это
разбиение не однозначно. Однако четность числа транспозиций, на которые
разбивается перестановка, определяется однозначно. Заметим, что
перестановка Р~1 четна или нечетна в соответствии с тем, четна или
нечетна Р. Таким образом, перестановка может быть охарактеризована ее
четностью 6Р, равной +1 для четной перестановки, и —1 для
П
нечетной. Если Р записать в виде гДе Т1, —транспозиции. a Q—в виде
i
тп пт
\\Т], тогда ясно, что PQ = [j TtT] и
3 3. г
6p6q = 6q6p = 6qp = 6pq, (6.7)
так что произведение двух четных перестановок четно и произведение двух
нечетных перестановок четно, в то время как произведение четной и
нечетной перестановок нечетно. А поскольку тождественная перестановка
четна, то 6P6p-i = 6p-i6p = ЬЕ = 1 и
fip-i = fip- (6.8)
§ 2. Симметричные и антисимметричные волновые функции
127
§ 2. Симметричные и антисимметричные волновые функции
В настоящем параграфе мы сжато изложим квантовомеханическое описание
системы тождественных, неразличимых частиц. В квантовой механике частицы
называются неразличимыми, если среднее значение любой наблюдаемой
остается неизменным при замене одной частицы на другую, т. е. если
переставить индексы частиц. Хорошо известно, что система тождественных
частиц описывается волновой функцией, которая или симметрична (бозе-
частицы) или антисимметрична (ферми-частицы) при перестановке двух
частиц.
Пусть | Чг), |Ф) — векторы состояния, описывающие систему п частиц, Их
скалярное произведение в конфигурационном пространстве определяется
следующим образом:
(?, Ф)= 2 ^dx2. .. ^ dx„(4r|x1s1, . . . xnsn)(XiSi, .. . xnsn |Ф)
=
SjS2. . .Sn
= ^ [dx^dx2...UxnW(xlSl, ...xnSn)Q)(xlSl, ...xnsn), (6.9)
Sl. . ,Sn
где .s’j — спиновая переменная i-й частицы. В дальнейшем мы опустим
зависимость волновой функции от спиновых переменных и примем, что
переменные х* описывают и спин, если частицы обладают спином. Примем
также, что знак интегрирования включает, если нужно, суммирование но
спиновым индексам. При перестановке Р, Pxi — xa., волновая функция ?(х) =
(х | ?) = (хь х2 ... х„|?) преобразуется в новую волновую функцию ?' (х)
= ? (Рх). Это преобразованное состояние получается с помощью линейной
операции Up
С/Р|?) = |?'), (6.10а)
такой, что
(х j Up I ?) = (X I ?') = (Рх I ?). (6.106)
Отсюда
(x\UP\x') = (Px\x) = д(Рх1 — х1) ... д(Рхп — хп). (6.11)
Мьт иногда будем обозначать символом оператор Up в конфигурационном
пространстве и писать
(Рх | ?) = & (х | ?) = 0>? (х) = ? (Рх). (6.12)
Так как якобиан преобразования х —> Рх равен по модулю единице то (Ф'|
?') = (Ф | ?), так что Up является унитарным оператором. Операторы Up
образуют унитарное представление симметрической группы. Если частицы
неразличимы, тогда упомянутый выше критерий неразличимости требует, чтобы
для любой наблюдаемой О системы п частиц и для любой перестановки Р
(?, 0?) = (?', 0?') = (0Р?, 0tfp?) = (?/tfpWp?), (6.13а)
т. е. чтобы
0=UpWUP (6.136)
или [О, Up] = 0. Последнее равенство выражает инвариантность О при
перестановках индексов частиц. Следовательно, наблюдаемая О должна быть
симметричной функцией наблюдаемых отдельных частиц.
128
Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская, теория
Теперь мы можем дать точное определение симметричных и антисимметричных
волновых функций. Если Т — любая транспозиция, то мы назовем волновую
функцию симметричной, если
(х1т х2, .. . Х„ I UT\ Ws)= (xt, х2, . ..Xnl^s) (6.14а)
или если')
J?s(x,, х2, ... x„) = Tfs(x1, х2, ... х„), (6.146)
и антисимметричной, если
(хь х2, ... xn|f/T|?a)= — (Xi, х2, ...XnlTa), (6.15а)
J?„(xb х2, ... х„)= — ?a(x,, Х2, . .. х„). (6.156)
Вообще, для любой перестановки Р симметричная волновая функция обладает
тем свойством, что
(х,, х2, .. . x,l|f/p|T's) = (x1, ... x„|?s), (6.16)
в то время как для антисимметричной волновой функции
(х,, х2, ... х„|С/р|Тга) = бр(х1, х2, ... хд|?а), (6.17)
где бр —четность перестановки Р. Из унитарности Up следует, что
пространство симметричных состояний ортогонально пространству
антисимметричных состояний, так как (?s, Wa) = (UTxirs, UT^a)= — (Ч*А
гЕ„) = 0. -Далее, никакое возмущение не может перевести симметричное
