Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
целью рассмотрим набор матриц у? (р = 0, 1, 2, 3). Транспонируя
перестановочные соотношения для матриц у, [у^, yv] + = 2g^v, находим, что
матрицы уц удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям
уХ + уХ = 2^- <4-217)
Так как представление у при помощи 4x4 матриц является неприводимым, то,
согласно основной теореме § 2 настоящей главы, существует такая
неособенная матрица В, что
уцт = в~1у^В. (4.218)
При этом В может быть выбрана унитарной. Используя соотношение,
полученное с помощью транспонирования соотношения (4.218), можно
проверить, что матрица ВТВ~Х коммутирует со всеми матрицами уТ', и
поэтому ВТВ^1 = а/, где я —некоторая константа. Возводя обе части
равенства ВтВ~г = а1 в минус первую степень, комплексно сопрягая н
вспоминая, что В была выбрана унитарной, находим, что а=±1 и что,
следовательно, В = ±_ Вт. Чтобы решить вопрос, какой знак (-f или —)
правилен, замечаем, что при выборе В= — Вг
у^В = ВВ~ху^В = — ВтуУ‘т = — (у йВ)г, (4.219а)
и аналогично,
у^В = ВВ~хуъВ = - Вт (yYyY)t = - (Y5?)t- (4.2196)
Таким образом, шесть матриц В, Byv- и By5 будут антисимметричными. Тем же
способом можно проверить, что десять матриц Ву5у^ и ВФУ будут
симметричными. Наоборот, при выборе В=-\-Вт десять матриц Ву5у^ и ВФХ
были бы антисимметричны, а шесть матриц В, Ву^ и Вуъ — симметричны.
Однако последний случай невозможен, так как десять матриц Ву5у^ и ВФЧ
линейно независимы, а линейно независимых антисимметричных 4x4 матриц
имеется только шесть. Отсюда заключаем, что В=—Вт (см. Паули [624]).
Введем матрицу
С=-уьВ. (4.220)
Она унитарна
С”1 = - В'1у'1 = В'1 у5 = - В*у* = (- у5В)* = С* (4.221)
и, что следует из (4.2196), антисимметрична
Ст= —С. (4.222)
Кроме того, при преобразовании подобия при помощи матрицы С матрицы у^1
переходят в матрицы, транспонированные и взятые со знаком минус:
С~ху^С = — ?'1у5у^у55 = — В'ху^В — — у^т. (4.223)
§ 8. Уравнение Дирака во внешнем полр. Зарядовое сопряжение
107
соответствует взаимодействию спинового момента 1/2с магнитным полем off и
электрического момента с электрическим полем %. Таким образом, уравнение
Дирака предсказывает, что заряженная частица со спином 1/2 обладает
магнитным моментом, равным по величине одному магнетону Бора. В
дальнейшем мы увидим, что к этому значению магнитного момента должны быть
добавлены радиационные поправки, учитывающие взаимодействие частицы с
флуктуациями вакуума.
• Вернемся к уравнению (4.208). Это уравнение второго порядка для
четырехкомпонентного спинора у, и поэтому оно обладает числом решений
вдвое большим, чем нужно. Однако уравнение (4.208) содержит только
матрицы сТ1'’, коммутирующие с матрицей у5. Следовательно, уравнение
(4.208) имеет решения со свойством iy5y = А,у. Так как (iy5)2 = /, то Я2
= 1 и К = +1. Если для матриц у выбрано представление (4.24), то
собственные функции гу5, соответствующие собственным значениям +1 и —1,
будут иметь вид
Если ограничиться решениями (4.208), соответствующими какому-либо одному
собственному значению К = +1 или % = —1, то можно установить взаимно
однозначное соответствие между этими решениями и решениями уравнения
первого порядка (4.202) (уравнения Дирака). Выберем решения, для которых
гуь%+ — У+- Сущебтвование взаимно однозначного соответствия будет
доказано, если показать, что каждой функции ф соответствует единственная
функция у+. Умножая равенство (4.203) на l/2 (1 -|- ?у5) и используя
равенство iy*x+ — Х+-, находим
что и является искомым соотношением1). Из (4.210а) видно также, что
спинор у+ определяется двухкомпонентным спинором V. Заметим, что матрицу
ц30 можно записать в виде
Поэтому при действии матрицы о30 на у+ ее можно заменить матрицей сг12;
аналогично, при действии матриц о10 и ц20 на у+ их можно заменить
соответственно на а23 и о13. Отсюда, используя для матриц у представление
(4.24), получаем уравнение для двухкомпонентного спинора:
Фейнман и Гелл-Манн [256] предложили описывать электроны и позитроны при
помощи двухкомпонентного спинора v, удовлетворяющего уравнению второго
порядка (4.213). При этом позитроны снова описываются отрицательно-
частотными решениями уравнения (4.213). Можно показать
(4.210а)
(4.2106)
Х+ = 4' ^ +
(4.211)
<?зо = уУзУо=^1У2(УоУгУ2Уз)=— ^ФгУб-
(4.212)
— — А ^) -ф о-($(! -Г tjf) J
v = m2c2v.
(4.213)
0 Обычно этот множитель пишут в форме У2 (1 -(- Ys)> что отвечает другому
определению матрицы у5. См. примечание 1 на стр. 77.— Прим. ред.
108
Гл. 4. Уравнение Дирака
(см. статью Брауна [92]), что во всех теориях, в которых электроны и
позитроны рождаются или уничтожаются парами, формулировка, использующая
двухкомпонентный спинор v, эквивалентна формулировке, использующей спинор
ф. Однако представляется невозможным дать такое описание в рамках
лагранжевой схемы квантовой теории поля (см. статью Киббла и Полкингхорна
[443]), хотя оно и пригодно как основа фейн-мановского формализма
интеграла по путям [250]. Мы не будем более подробно останавливаться на
