Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
волновая функция ф+ для следующих случаев:
(1) V- = v^; (2) F = v6f/; ' (3) V^iy^U*-,
(4) v = (5) У = у5а^: (6) У = 1уъу^и.
7. а) Получить решения уравпения Дирака для электрона в кулоновском поле,
используя, что оператор J = -L~] 1/2 S и оператор пространственного
отражения Р = рЛ (R — оператор, который изменяет знак пространственных
координат хи хъ хз) являются интегралами движения.
б) Обсудить связь между операторами К— p(S-L-fl) и Р.
в) Классифицировать состояния, используя операторы J2, J3 и К.
г) Подробно рассмотреть Рз/2~ и Дз^-состояния и выразить
для них в явном виде дираковские спиноры.
8. Найти решения уравнения Дирака в
а) однородном не зависящем от времени электрическом поле;
б) однородном не зависящем от времени магнитном поле. Показать, что в
этом случае существуют состояния с энергией Е=тп.
790
Вопросы и литература для дальнейшего изучения
9. Найти операторы проектирования, выделяющие состояния с определенными
спиральностью и импульсом, в случае уравнения Дирака для свободной
частицы.
О релятивистском описании поляризации частицы со спином г/2 см. статьи
Мишеля [551] и Бушиа [80].
10. Получить представления матриц у5, V1! <Т,П’> VsV^ и 2р в
представлениях Фолди — Вотхойзена и Чини—Тушека.
11. В связи с тем, что внешнее поле выделяет некоторую лоренцеву систему
отсчета, обсудить смысл понятия «релятивистская инвариантность» в
применении к уравнению Дирака во внешнем поле. (См. статьи Эддингтона
[205, 206] и Дирака, Пайерлса и Прайса [175].)
Глава 5
Относительно разных формулировок теории двухкомпопентного нейтрино см.
статьи Кейза [ИЗ], Мак-Леннана [525] и Тейса [773].
1. В данной лоренцевой системе отсчета L можно описывать фотон,
летящий в направлении оси z и поляризованный вдоль оси х, при помощи 4-
потенциала:
(\ \ —ih я!-1 Л(1(х) = е|1)е I1 ,
причем
е^1> = (0, 1, 0, 0),
^=(0), 0, 0, со).
Указать описание этого фотона с точки зрения наблюдателя, движущегося
вдоль оси х со скоростью v относительно системы отсчета L.
Г лава 6
1. Рассмотреть операторы ak, ак, которые подчиняются перестановочным
соотношениям
[oka^,] _6kk,,
[a*, a*,l = [ak, ak,l = 0,
и ввести систему операторов
6k = ch Xak -]- sh Яа?,
&k = sh Яак -]- ch Яак.
а) Найти перестановочные соотношопия для операторов Ь.
б) Показать, что если система операторов ак конечна (т. е. Я= 1, 2,
... п), то существует такое унитарное преобразс
v (п) ^
ЧТО
Выразить в явном виде операторы Т(п) через операторы а.
в) Доказать, что в пределе п ->? со
lim <? | Vm) 1 ф> - 0,
П-+со
где | 1Р) и | Ф) — любые состояния вида Ш* |0>.
2. Рассмотреть вторично-квантованную формулировку теории бесспиновых
нерелятивистских частиц, взаимодействующих попарно, причем потенциал
взаи-
1
модействия F=F(|x — у!) убывает быстрее, чем — (/? = j х — у|).
Вопросы и литература Эля дальнейшего изучения
791
Пусть /а (х, t) — нормируемое (типа волнового пакета) решение уравнения
Шредингера
)_о.
Построим оператор
Фа (г)= ^ d3xfa (х> Ф* (х- *)•
а) Доказать, что состояние
|а> = ф? Wl°>
пе зависит от времени и, кроме того, что, если система {/а (х, t)}
ортонормиро-вана, то
«х|Р> = 6ар.
б) Допустим, что потенциал V может привести к образованию связанных
двухчастичных систем. Обозначим шредингеровские волновые функции этих
связанных двухчастичных состояний через щ(хи х2, t). Найти уравнение
движения для двухчастичного оператора
фв*(г)=^д= § d3x § d3yq>(x, у; г) ф* (х, г) ф* (у, t).
в) Доказать, что состояние | Ь) = ф®* (t) | 0) не зависит от времени.
г) Доказать, что если потенциал имеет предположенное выше асимптотическое
поведение, то существуют пределы операторов
lim ф*(0 = Ф?щ,
t~*±co out,
lim ф**(0 = ФйВщ.
t-*±°о out
д) Вычислить
(!) <°!ФаотФ/Э1в1°>’
(2) <°1ФаотФзотФГ|°>- ' •
Теория взаимодействующих нерелятивистских частиц за’последние годы
усиленно разрабатывалась и в ней были достнгпуты значительные успехи. В
[166], а также в записках Летней школы в; Брандейсе за 1959 г. читатель
может найти хорошее введение во многие вопросы этой теории. Более
формальный подход к этим вопросам можно найти в статье Мартина и Швингера
[535].
Главы 7 и 8
1. Проверить, что оператор момента количества движения для скалярного
поля определяется формулой
М=—у ^ №х[я(х, t), [ххТ]ф(х,г )]+
и что он удовлетворяет перестановочным соотношениям
[Mi, Mj] = iS'ijmMm'
Обсуждение свойств системы из N мезонов можно найти в статье, Пайса
[G16].
2. Получить оператор момента количества движения для дираковского поля.
Найти его собственны!' значения для одночастичного состояния, импульс
которого равен нулю.
792
Вопросы и литература для дальнейшего изучения
3. а) Найти явные представления операторов U (is), U (it) и Uc для
квантованных теорий поля частиц со спином V2.
б) Рассмотреть трансформационные свойства дираковского оператора ф (х)
при преобразовании Uc, используя майорановское представление у-матриц.
4. Исследовать двухкомпонентную теорию нейтрино в импульсном
