Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
дисперсионному соотношению по переменной s3 при фиксированном зна-
9 Фактически предмет теории дисперсионных соотношений можно определить
как изучение природы и расположения особенностей амплитуды рассеяния.
§ 4. Дисперсионные соотношения
783
4
чении переменной s2 (s4 = ml — s2 — s3). Аналогично, рассматри-
i=i
вал процессы, в которых квадратом полного начального 4-импульса являются
переменные s4 iinn.s2, можно высказать предположение, что для амплитуды Т
и по этим переменным Sj и s2 справедливы дисперсионные соотношения, хотя
их и не смогли доказать 1531]. Эти дисперсионные соотношения делают
правдоподобной мысль, что амплитуда рассеяния как функция комплексных
переменных sl5 s2, s3 аналитична по каждой переменной в плоскости с
разрезом. Теперь возникает вопрос, каковы ее свойства аналитичности как
функции одновременно двух переменных.
Манделстам [531] высказал предположение, что амплитуда рассеяния (с
точностью до вычитаний, необходимых, если интегралы расходятся) может
быть представлена следующим образом:
Т (si, s2, «з)=-^- J jj ds[
ds'
Q12 (Д sz)
4И i 5 WgsHM# ?(18 4%)
где весовые функции Qi7- являются действительными, и интегрирование по
каждой переменной s' проводится вдоль положительной действительной
полуоси и распространяется до бесконечности. Говоря точнее, функции Qij
отличны от нуля только тогда, когда каждый аргумент равен квадрату массы
реальной физической системы, которая имеет те же квантовые числа, что и
соответствующий канал. Представление также учитывает то, что можно
назвать обобщенными, соотношениями «перекрестной симметрии», которые
являются обобщением соотношений типа (18.350).
Представление Манделстама явилось обобщением представления, предложенного
Намбу [571], исходя из теории возмущений. Однако представление Намбу
оказалось неправильным, так как оно противоречило унитарности.
Представление Манделстама лишено этих недостатков. Более того, Иден [213—
215] доказал, что представление Манделстама для амплитуды рассеяния верно
в каждом порядке теории возмущений. (Доказательство применимо для любой
системы, у которой нет так называемых «аномальных порогов» [429, 430]1).)
Перечислим некоторые следствия и возможности представления Манделстама:
1. Дисперсионные соотношения по энергетической переменной справедливы
при любых значениях передачи импульса.
Ч См. наше примечание на стр. 736. — Прим. ред.
784
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
2. Абсорбционные части амплитуды рассеяния удовлетворяют дисперсионным
соотношениям по передаче импульса при фиксированной энергии, т. е. ImT1
есть аналитическая функция передачи импульса всюду, за исключением
разрезов вдоль действительной оси.
8. Можно вывести дисперсионные соотношения для фиксированного угла
рассеяния, или, точнее, для фиксированного значения cos0 [186].
4. Можно выяснить свойства аналитичности парциальных амплитуд (см.,
например, [521]).
Чу и Манделстам предложили сделать представление основной динамической
теории сильных взаимодействий. Практически же они использовали
представление совместно с двухчастичной аппроксимацией условия
унитарности. Обзор работ этого направления читатель найдет в Трудах
Рочестерской конференции по физике высоких энергий 1960 г.
Этими краткими замечаниями по поводу представления Манделстама мы окончим
наше изложение теории дисперсионных соотношений. Дальнейшие подробности,
касающиеся представления Манделстама, его приложений и условий
применимости, содержатся в превосходных обзорных статьях Чу [126, 128],
Чу и Манделстама [127] и Газиоровича [297]. Полный обзор теории
дисперсионных соотношений можно найти у Голд-бергера и Оме [328] (см.
также лекции Голдбергера [327]).
§ 5. Перспективы
Мы завершили наше изложение современной теории поля. Несмотря на все
трудности и ограничения, несомненно, что из нее вырисовывается некая
«истина». Более того, современная теория в некотором смысле должна
рассматриваться как грубое приближение к правильному физическому описанию
взаимодействий «элементарных» частиц. Ведь успех квантовой
электродинамики не может быть случайным, так же как и то, что одна и та
же константа связи способна объяснить при низких энергиях и
взаимодействие л-мезонов с нуклонами и взаимодействие нуклонов с
нуклонами.
Безусловно заманчивсыгомеч^ть о том, какой будет будущая формулировка
теории поля, /и иссйедовать возможную связь ее с дисперсионным подходом,
основывающимся на аксиоматической формулировке. Станем на оптимистическую
тойку зрения и поверим, что программа Манделстама осуществима.
Предположим, что для всех амплитуд можно получить спектральные
представления, которые выражают их аналитические свойства как функций
основных кинематических инвариантов, и что эти амплитуды удовлетворяют
обобщенным дисперсионным соотношениям и соотношениям перекрестной
симметрии (см., например, [586]). Предположим, кроме того, что эти
дисперсионные соотношения вместе с условием унитарности в самом деле
