Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
многочастичные процессы вместе с условием унитарности заменят более
обычные уравнения теории поля и позволят вычислять все наблюдаемые
величины, выражая их через конечное число констант связи и масс без
какого-либо специального введения лагранжиана [532, 533]. Превосходное
изложение этой программы, а также введение в ее математическую
формулировку читатель может найти в работах Чу [126, 128], а также Чу и
Манделстама [127].
С целью иллюстрации представления Манделстама для двухчастичной амплитуды
рассеяния рассмотрим процесс рассеяния с двумя приходящими и двумя
уходящими частицами. Припишем этим частицам 4-импульсы ри рг, рз и р4,
причем для удобства формально будем считать, что все они соответствуют
приходящим частицам. Таким образом, из числа этих импульсов два импульса,
соответствующих уходящим частицам, будут отрицательными времени-подобными
векторами (роК 0), а два других, соответствующих приходящим частицам,—
положительными времени-подобными векторами (р0>0). Закон сохранения
энергии-импульса гласит:
Pi + Рг + Рз + р/, — 0. (18.489)
Импульсы Pi есть импульсы физических частиц, и поэтому
р\ = т\ (i=l, 2, 3,4). (18.490)
Вообще говоря, амплитуда Т (pi, р2, рз, рд описывает различные
процессы в зависимости от того, какие из переменных р\, . . .
р4 относятся
к начальным частицам, а какие—к конечным. Если бы нам больше ничего не
было известно, то эта амплитуда состояла бы из некоторого числа
независимых функций, относящихся к различным процессам. Однако, как мы
уже видели, причинность означает, что в действительности эти функции
тесно связаны в том смысле, что они являются граничными значениями одной
и той же аналитической функции комплексных переменных. Эту функцию мы
также будем обозначать через Т (pi, р2, рз, Pi)- ' •
Релятивистская инвариантность амплитуды станет явной, если рассматривать
ее как функцию трех инвариантных кинематических переменных:
Si = (Pi + Pb)2 = (P2 + p3)2, (18.491)
s2= {РгЛ~ Pi}2 — (Pi + Рз)2, (18.492)
?з=(Рз + Р4)2=(Р1 + Р2)2- (18.493)
782
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Каждая из этих переменных есть квадрат полной энергии в системе центра
масс для некоторого частного выбора пар приходящих и уходящих частиц.
Если, например, pt ирг есть импульсы приходящих, a ps и р4 — уходящих
частиц, то тогда S3 — полная энергия в системе центра масс, s* и s2 —
квадраты передаваемых 4-импульсов. Эти переменные в силу ограничений
(18.489) и (18.490) не независимы и связаны соотношением
4
+ s2 ? тЬ (18.494)
i=i
Амплитуду рассеяния Т можно теперь рассматривать как функцию двух из трех
переменных sb s2, s3. Тем не менее мы будем писать Т = Т (st, s2, s3),
считая, что третья переменная выражена через две другие с помощью
соотношения (18.494).
Ранее мы отмечали, что амплитуда будет иметь особенности при физических,
а также при нефизических значениях переменных st, s2, S3.1) При
разложении амплитуды по промежуточным состояниям эти особенности
соответствуют возможным промежуточным состояниям. Вычеты в полюсах
связаны с константами связи. Имеется следующее «правило», определяющее
положение полюсов амплитуды рассеяния в случае, когда в начале и в конце
имеется по две частицы: если две приходящие и две уходящие частицы можно
«соединить» при помощи стабильной частицы с массой т0, то тогда
существует полюс при s = ml, где переменная s — квадрат полного 4-
импульса для этого процесса. При этом подразумевается, что «соединение»
возможно, когда начальное и конечное двухчастичные состояния имеют те же
квантовые числа, что и одночастичное промежуточное состояние. Из
предположения о стабильности промежуточной частицы следует, что хотя
такие одночастичные полюсы и лежат на действительной оси, тем не менее
они не могут находиться в физической области значений рассматриваемой
переменной s. (В противном случае промежуточная частица могла бы
распадаться на две частицы, которые составляют начальное или конечное
состояние!) Так, амплитуда рассеяния я-мезонов на нуклонах Т {s 1, s2,
s3) должна иметь вид
Т (sj, s2, s3)(=^--_y^2—(5ь s2> ss)- (18.495)
Это можно выяснить следующим]/образом. Для рассеяния я-мезоиов на
нуклонах s3 = (pi -j- р2)2 есть квадрат начального 4-импульса. Возможное
одночастичное промежуточное состояние показано на фиг. 151. Поэтому
имеется полюс при s3 = М’г. Отметим, что процесс N -\-N -»? 2я
описывается также и диаграммой фиг. 152. В этом случае квадратом
начального 4-импульса является переменная s2 = (р2 + Рд2- Однако
поскольку нет одночастичного промежуточного состояния, которое могло бы
«соединить» начальное и конечное состояния, то нет и полюса по переменной
s2. llo переменной Sj амплитуда снова имеет однонуклонный полюс при Sj =
Мг, соответствующий однонуклонному состоянию, соединяющему начальное и
конечное состояния системы я-мезон—нуклон. Функция Тj (slt s->, s3) в
(18.495) при s* = s3 = АР является регулярной.
Ранее мы уже указывали, что амплитуда T(si, s2, s3) подчиняется
