Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
СО 4- I
М (W, А2) = $ dzjj d (cosa) (18.432а)
2Z2_1 -1(
= 2im R(W, А2) (18.4326)
Оно получается, если в выражении (18.428) ввести новую переменную
интегрирования
g_ у^ + УуЬ^к2 /уЬ7^2 (18.433)
В формуле (18.432а)
„ = 1 /1 _1 ('И| —Р2) ('»!— тг) ,, О
0 V 1 7ГЧ1Г2 — (да, — 1щ)Ц ' (18.434)
К2 [IF2 — (/щ — те2)2]
Таким образом, функция М (W, А2) будет обладать определенными свойствами
аналитичности по переменной cos 0 (0 — угол рассеяния). Эти свойства
очевидным образом следуют из представления (18.432а),
поскольку угол 0 входит в него только через ядро ----------—— . Точнее
z — с os (t) — ct)
говоря, М (W, А2) есть аналитическая функция переменной cos0, регулярная
в эллипсе с фокусами в точках cos0=±l и с полуосями, равными 2z2 —1 и
2z0j/rz2— 1, где значение z0 дается формулой (18.434). Внутри этого
эллипса содержится физическая область — 1<cos0< +1 и область, в которой
доказаны дисперсионные соотношения. Конечно, это благоприятный результат.
Фактически уже с помощью представления (18.391) для R (И7, А2, р3) можно
доказать, что R (В7, А2, р2) есть аналитическая функция переменной cos0,
регулярная на плоскости cos 9 внутри эллипса с центром в начале координат
и с полуосями z0, "j/z2 -41 . Этот результат получается после подстановки
в выражение для ( амшштуды (18.391) представления Дайсона для
запаздывающего коммутатора (см. [494]), что придает выражению (18.391)
вид
R (W, А2, р2) = С d*u d^j{u,^p_,k)_ ^ (lg
где весовая функция Y есть инвариантная функция векторов и, р, к, равная
нулю вне области
I п ^ W , ^ ^ W
I U < w <; — ;--------_]_м<ц0<__-----М)
и >Мах |0; пц — |/(^ + гг0^)2 —и2; тг — ]/(Ч — — м2| .
(18.436)
$ 4. Дисперсионные соотношения
771
В системе центра масс (p-fk = 0) при помощи подходящего выбора переменных
интегрирования указанному выше представлению можно придать вид
со 2я
R(W, А2, 5 * ( *.=0^ . (18.437а)
ZQ 0
Знаменатель в выражении (18.437а) можно записать в следующем виде:
z — cos 6 cos а — у 1 — cos2 0 sin а . Казалось бы, что благодаря наличию
квадратного корня нужно сделать разрез на плоскости cos 0. Однако,
разбивая область интегрирования по переменной а па две части—от 0 до it и
от л до 2я, и делая во второй области замену переменной а = 2я — а, можно
переписать выражение (18.437а) в виде
оо Л
R (IP, А2, р2) = ^dz^da
Zo О
Эта форма делает очевидным, что амплитуда R зависит от 0 только через
cos0 и что sin0 не дает ветвления. Особенности амплитуды R как функции 0
могут возникать только в тех случаях, когда обращается в пуль
знаменатель, т. е. когда cos 0 = г cos а ± i sin a)/z2 — 1. Если принять,
что cos0 = u-fiy, то тогда особенности будут лежать на эллипсе или вне
его:
т = 1> z0<z<oo. (18.438)
Результат этого исследования Лемана [494] состоит в том, что/? (IP, А2),
а поэтому также и Re R (W, А2) и Im R (W, А2) являются аналитическими
функциями, регулярными на плоскости cos 0 внутри эллипса с центром в
.начале координат и с полуосями z0 и "J/"z2 — 1, где значение z0 дается
формулой (18.434).
Попутно отметим, что хотя представление (18.435) и дает информацию о
зависимости R (W, А2) от 0 или А2, но оно не дает никакой информации
относительно области аналитичности R по переменной поскольку весовая
функция зависит от к2 = ? неизвестным образом. Отметим также, что
представление (18.428) для Im/? (W, А2) показывает, что Im R (IP, А2)
является аналитической функцией в более широкой области на плоскости
комплексной переменной cos 0, чем это обнаруживается из представления
(18.391).
Полученные выше результаты означают, что разложение амплитуды R (И72, А2)
в ряд по парциальным волнам
СО
R(W2, A2) = -L^2 (2/ + 1)С;(1Р)Рг(1-^\
1=0
Сг(^7) = -^^- ^ d (cos 0) R (IF3, cos 0) Pt (cos 0),
— i
сходится внутри эллипса с полуосями z0 и у z\— 1. Поэтому можно сперва
найти коэффициенты С/ (IP) по известной физической амплитуде, а затем
определить Im/? в нефизической области прй помощи аналитп-
49«*
(18.439а)
(18.4396)
if (г, cos a) (z— cos 0- cos a)
(z — cos G cos a)2 — sin2 0 sin2 a
(18.4376)
772
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
ческого продолжения мнимой части выражения (18.439а). Суммируя все
полученные выше результаты, заключаем, что дисперсионные соотношения без
вычитаний записываются в виде
RcR(W А2) = -/-fo-2)- Г ------------------1--------------------”1 -L
пс/щгг, ыу 2it ^ WZ—M* ^ И"2—4А2—Л/2 —2д2 J '
СО
+ ±Р J dW'4mR(W'\ А2) X
(М+ц)2
Х { W’? — W2 ~Wr^—4Л2—2 (М2 + р2)+1Г2 } • (18.440)
Разложение (18.439а) для амплитуды рассеяния, в сущности, является
фазовым анализом амплитуды. Можно было бы предпринять попытку выяснить,
удовлетворяют ли экспериментальные данные дисперсионным соотношениям для
рассеяния не вперед (18.440), или, точнее, их непосредственным обобщениям
на более реальные ситуации, когда рассеиваются заряженные частицы со
спином. При этом фазы, по-видимому, пришлось бы получать с помощью
экспериментально измеренного дифференциального сечения. Однако, как
