Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
можно аналитически продолжить вплоть до рА Затем нужно показать, что
такая функция, полученная в результате аналитического продолжения по р
при действительных положительных значениях ю совпадает с первоначальной
амплитудой рассеяния.
Боголюбов [67] показал, что при помощи такого аналитического продолжения
из формулы (18.4176) действительно получаются дисперсионные соотношения
для амплитуды R (со, Д2, р2) (см. также работу Владимирова и Логунова
[811]). На основе теории многих комплексных переменных он доказал, что
при Д2>0 и о2>М2 величина М (о2, Д2, ?)
766
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
является аналитической функцией ?, регулярной при Re ? = ^
в окрестности действительной оси, |Im?j<6. Раз так, то тогда выражение
(18.4176) определяет аналитическую функцию R" (со, А2, ?) от переменных ш
и ?, регулярную в области 31", определяемой неравенствами Ci<P2> |?г|<б,
| ?2! < 2?д 1т(й, При ?, действительных с ?t<-A2,
Я'К Л®, ?!) = /?"(©, Д2, Si). (18.419>
Далее, граничное значение, принимаемое функцией 7?" в результата
предельного перехода co2 = Imco—>0 при ? = ц2 и сщ > ]/"Д2-)- р2, есть-
физическая амплитуда рассеяния Я (и, А2), определенная формулой (18.331),
так как это граничное значение может быть достигнуто вдоль-пути,
проходящего по пересечению областей 31' и М"? (Строгое доказательство
двух последних пунктов см. в работах [65, 66, 84, 554].)
Леман [494, 495] доказал требующиеся для вывода дисперсионных соотношений
с ?=р2 аналитические свойства функции М (ю, Д2, Q попеременной ?, не
используя теорию функций многих комплексных переменных. Доказательство
Лемана основано на применении представления Дайсона для причинных
коммутаторов, которые входят в выражение
(18.357), определяющее функцию М (ш, А2, ?) при ? < т\. Здесь мы в общих
чертах будем следовать доказательству Лемана.
Каждому запаздывающему коммутатору в (18.357) соответствует' весовая
функция Фа(и, х2, р-\-к), которая равна нулю вне области
±(р + к) + и?Ь+\ ~(р + к)-и?Ь\
ты Го i/v+V V ,/77+* Vi ‘ (18-420)'
х>Мах|0; nit — у и ) ; т2~ \/ {J2 и) )
Для рассеяния я-мезона на нуклоне mi = Зц и т2 = М 3 jr. Если эти весовые
функции перемножить и взять сумму по а, то получим полную-весовую функцию
Ф(иь u2, Xi, х2; /) + /?) = 2Фа(и1; яг, тГ+к)Фа(и2, х2; р + к),
(18.421)
а / ..
которая удовлетворяет условиям (18.\420) по каждой паре переменных иь (г
= 1, 2) в отдельности. Эта ве&овйя функция есть действительная и
инвариантная функция от векторов иь и2, jo-f/c и, следовательно, зависит
только от их скалярных произведений. Важнейшее значение для дальнейшего
имеет то обстоятельство, что функция Ф зависит только от одной
кинематической переменной W2 = (рЗ к)2 и не зависит от ? иным путем. Если
в выражении (18.357) матричные элементы от запаздывающих коммутаторов
заменить соответствующими представлениями Дайсона, то после выполнения
суммирования (18.421) по а получим для М (ТЕ2, А2, ?) представление
М (ТЕ2 А2 ?) — 1 Ц diui diu2 dx.2$>(Ui, и2, яи я2; р+к) (18.422)
Поскольку вес Ф зависит только от одной кинематической переменной W, то
вся зависимость от А2 и ? содержится в знаменателе подын-
§ 4. Дисперсионные соотношения
767'
тегрального выражения (18.422). Вычисления в формуле (18.422) легче всего
проводятся в системе центра масс (р + к = 0), когда весовая функция Ф
становится функцией переменных иги2, и2, и2, н10, н20, х2, х2' и W. Если
выбрать систему координат так, чтобы
к = АГ(1, 0, 0),
k' = iT(cos0, sin0, 0),
. _ . . . (18.423)
ui = ui (cos ф! sm xji, smtp) smW), cos Hi),
u2 = u2 (cos ф2 sin й2, sin ф2 sin Й2, cos’&2),
а в качестве переменных интегрирования принять ос = ф1 и а = ф! —ф2, то
тогда по некоторым переменным можно проинтегрировать [494, 495]. При
интегрировании полезно считать, что вес Ф есть функция переменных н10,
н20, u2, u2, j , x2, x2 и W. После перехода к переменным
(18.423) получаем
2 хс
М (И72, А2, I) = ^ dul0 ^ du20 ^ щ dui ^ и2 du2
^ dx2 ^ dx2 ^ da х
2 л
Г Г Г , Ф (“го. иЬ К* cosasinHjsm^-i-cosH'iCOsOa, ИV)
Х J М Л 1 [*1 (S) —1-OS (0—Х)1 [*2 (?) —cos <Х —а)] ’ (18’ 2 >
ООО
где
IV + И? + X? - ( Ui0 +?Л 2
(0 = 2Ки)*п*, — (18-425а>
COS0 = 1—(18.425в)
Вводя новые переменные интегрирования и\ и х(2
щ = ut sin дг, (18.426а)
н(2 + х(2 = и2 + х2 (18.4266)
[для исключения из знаменателя в (18.424) зависимости от йг] и учитывая,
что
2 Jt
С dX
,] [д:1 — cos (0 — X)] [х2 — cos (X — а)]
о
= 2я У=х' 1 VjLxj--------------- (18.427)
xlx2-\-Yxi — 1 Yx$—1 —cos (б —а) ’
можно проинтегрировать по переменным и %. После замены переменных
(18.426) переменные О* будут входить только в весовую
функцию Ф,
так что интегрирование по ним просто будет давать новую весовую*
768
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
функцию Ф' (ит, щ, v.'i, cosa, W). Попутно отметим, что область изменения
переменных щ, х( та же, что и переменных иг, хг. Таким образом получаем
(штрихи опущены)
М (W, Д2, ?) = ^ ^ dul0duldu20du2dK21dy.l X
2 П
X ^ ^аФ'(и10, Ml, м20, м2, Xj, xl, cosa, И7) х
