Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
о
где
___________ ОО
F (w, r) = 4m> silV?/=|’... "У - eiwr. ^ dt eiw(t~r'> {к | [/ (х), /*
(0)]| к), . (18.377а)
Г
w = ^~. (18.3776)
Отметим, что выражение (18.377а) определяет величину F (w, г) при всех
значениях w в полуплоскости 1шш>0. Более того, при Im w > 0 правая часть
формулы (18.377а.) определяет аналитическую функцию. [При
1 л/г sin w2 — г у
w—±M точек ветвления нет, поскольку __________ ___ —есть четная функ-
у w2 — А/2 г
ция переменной у^ш2 — М2 г. При значениях w < М множитель ехр (iwr)
758
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
компенсирует рост функции sin J^w2 — М'2 г. ] Поскольку, по
предположению, матричный элемент коммутатора внутри светового конуса
непрерывен, то по лемме Римана — Лебега асимптотическое поведение Е (w,
г) при w —> со определяется особенностями коммутатора на световом конусе.
Если (&|[/(а;), /*(0)]|/с) ведет себя на световом конусе как производная
л-го порядка (га> 0) функции б (л;2), тогда функция F-(w,r) при больших w
будет вести себя как wn_1. Как указывалось выше, при строгом
выводе следовало бы в связи с этим исследовать функцию ^ ^иТ^
П i(w + iai)2— Ь|] '
j=l
Однако поскольку в конечном счете это эквивалентно некоторому числу
вычитаний в соотношении Гильберта для F (хю, г), то мы будем продолжать
дальнейшее исследование так, как если бы функция F (w, г)
убывала при w —> оо достаточно быстро, чтобы можно было
записать
соотношение
4-СО
F(w, г) =—[ .^ЕК, Ф dw’. (18.378)
v 7 ' я J ш—w — гг '
— со
Функция F (w, г) обладает свойством
F(w,r) = F( — w, г), (18.379)
которое легко проверить при помощи представления (18.377а) и из которого
вытекает
ImE (w, г) — — ImE (— w, г), (18.380)
и, следовательно, соотношение (18.378) можно переписать в виде
оо
Е(ш, г) =4 J dw'T^ny^r) , (18.381а)
м \
= — \ dw' Im Е (и/, г) —^—~~ . - -+-
Я J \ / ц,'2 —(до+ге)2 1
о
с»
+ ^\dw’lmF(w.r) (18.3816)
Ы
Чтобы получить дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния R(pk;
рк), нужно проинтегрировать выражение (18.3816) по г. С этой целью
исследуем свойства мнимой части ImF(w',r), чтобы выяснить, законно ли
изменение порядка интегрирования по г и w. Из (18.374) следует, что
lmR(pk; рк) = ~ J d*x е^-х (k\\f (х), /* (0)]| к), (18.382)
так что, снова выполняя интегрирование по углам, получаем для Imi?
представление
со _______
1 . sin ?(/"w2— М2 г
1 С
Im R (рк; рк) = -^ ) dr4nr
у ш2—м2
4-со
X
dteiwl(k\lf(x), Г(Щк), (18.383)
§ 4. Дисперсионные соотношения
759
которое после подстановки суммы 2j I ) (I по полной системе состояний и
выполнения интегрирования по t принимает вид
т г! \ п sm V »2 — М^г
Im F (w, г) = 2яг .......... — X
у ш2— А/2
X У, -ТТГТГ К* I / (0)1 я>12 {б (ш + рп0 - р) - б (да + р - рп0)}.
(18.384)
?" I Рп | '
|п>
[В выражении (18.384) множители ехр(± ipn’x) заменены своими средними по
углам.] Из представления (18.384) видно, что в области \ w\<.M порядок
интегрирования по г и w изменять нельзя, так как в
этой
•области величина ]/фу2 — М2 г является мнимой, и при г —> оо
функция
sin ]/фу2 — М2 г стремится к бесконечности. Однако в сумму (18-384)
вносят вклад только те состояния, у которых барионное квантовое число
равно +1. В частности, в области 0 <ну<47 вклад вносят только
однонуклонные состояния.
Выполняя в (18.382) интегрирование по пространственным и временной
переменным, можно записать Im R(pk; рк) в виде
Im R (рк; pk) = j(2n)i 2 К* | / (0)| /г)|2 X
I п>
X {б(4) (р + к — рп) — б<4> (р — к + рп)}. (18.385)
Проблема изменения порядка интегрирования может быть решена несколькими
путями. Если бы мы выяснили аналитические свойства
матричного элемента (к \ / (0)| дУ= <р ((к—- q)2) как функции переменной
-—
(где | д) —- однонуклонное состояние, д2 = М2), тогда можно было бы
попытаться подходящим образом деформировать в (18.3816) контур
интегрирования по w. Это и было сделано Симанзиком [761, 762] и позволило
оправдать изменение порядка интегрирования по г и w. Другое решение
проблемы дает подход Лемана [494], примененный им для доказательства
дисперсионных соотношений при А2 Ф 0. Здесь прежде всего доказывается,
что ImT? является аналитической функцией переменной М2 в полосе, идущей
вдоль вещественной оси до — оо. [Это демонстрируется при помощи
представления (18.350а), (18.357) для Im R и представления Дайсона для
запаздывающих коммутаторов, вошедших в выражение (18.357).] Поэтому
теперь можно рассмотреть ImT? при больших отрицательных значениях М2,
когда нет трудности с изменением порядка интегрирования по г» и г. Затем
функцию можно аналитически продолжить на массовую поверхность. Еще один
путь — следуя Боголюбову, вместо функции R (рк; рк) исследовать функцию
7?! (рк; рк) = [(к + р)2- М2] [(А- р)2 - М2} R (рк; рк). (18.386)
Из представления (18.385) для luiR(pk; рк) легко видеть, что умножение
амплитуды R на множители [(кфр)2 — М2] и [(fc — р)2 — М2\ устраняет
одночастичные особенности, так что новая функция 7?i обладает свойством
