Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
показал Дайсон (не опубликовано, но цитируется у Тирринга [777, 778]),
фазы, найденные экспериментально, не позволят выяснить, удовлетворяют ли
экспериментальные данные этим дисперсионным соотношениям или нет. Дело в
том, что сколь угодно малая ошибка в определении фаз в физической области
приводит к слишком широкому произволу при продолжении в нефизическую
область (см. также работу Олкока [7]). На самом деле из числа допустимых
продолжений всегда можно выбрать такое, чтобы дисперсионные соотношения
удовлетворялись даже в том случае, если бы истинная амплитуда (если бы
она была известна!) не удовлетворяла дисперсионным соотношениям.
Математическая формулировка утверждения Дайсона состоит в следующем. Если
заданы две произвольные функции A (k), D(k), интервал d и малое
положительное число б, то всегда можно найти функции А' (к) и D'(к),
которые удовлетворяют дисперсионным соотношениям и аппроксимируют А (к) и
D (к) в интервале d с точностью б, т. о. такие, что
\А’ (к)-А(к)\<6,
| D’ (к) — D (к) |< б при к в d. (18.441)
Итак, экспериментальная проверка дисперсионных соотношений может быть
выполнена только для рассеяния вперед, и в особенности в тех случаях,
когда у амплитуды рассеяния вперед нет нефизической области, как,
например, при рассеянии л-мезонов! па нуклонах.
Нами было показано, как можно дать строгое доказательство дисперсионных
соотношений, а теперь мы кратко остановимся на чисто эвристическом выводе
дисперсионных соотношений для рассеяния мезонов на нуклонах вперед (см.
работы Голдбергера [322, 323]). При этом особое внимание обратим на
формальную сторону, связанную с наличием изотопического спина. Пусть
мезон с 4-импульсом к и индексом изотопического спина а претерпевает
рассеяние вперед на нуклоне с импульсом р и с индексом изотопического
спина г, и пусть индексы изотопического спина в конечном состоянии равны
р и /. Тогда соответствующая амплитуда для рассеяния вперед есть
Ща (рк; рк) = + г § d'xeth-xQ (х) (pf | [/р (x),fa (0)] [ pi),
рг = Мг, А:2 = ц2 (18.442)
§ 4. Дисперсионные соотношения
773
[где /р (х) = (? + ц2) срр (ж)], и снова опущены вклады от одновременных
членов. Напомним, что операторы <ра(а=1, 2, 3) эрмитовы, причем one-
1 1
ратор —— (ч^+г’фг) рождает л+-мезон, оператор —(«ю — iш2) рождает У 2
у 2
л -мезон, а оператор ср3 описывает я°-мсзон. Мы будем явно предполагать,
что теория инвариантна относительно пространственных отражений, а также
относительно любых вращений в пространстве изотопического спина
(зарядовая независимость). Благодаря предположению о зарядовой
независимости теории достаточно рассмотреть амплитуды рассеяния
заряженных мезонов на протонах, поскольку по этим амплитудам можно
восстановить амплитуды рассеяния в состояниях с изотопическим спином Т =
3/2 и 7’ = 1/2. В связи с этим мы будем предполагать, что зарядовое
состояние нуклона не изменяется, т. е. /=/, и, еще более конкретно, что
это квантовое число соответствует протону. В дальнейшем мы будем опускать
индексы i и / у амплитуды В и у векторов начального и конечного состояний
нуклона | pi), J pj).
Если перейти к лабораторной системе отсчета (р = 0, р0 = М), то снова
можно выполнить интегрирование по углам, поскольку матричный элемент (Р
|[/з(ж)> Jo, (0)11 Р) есть скалярная функция х2 и х0. Отметим, что если
рассматривать (р |[/р(я), ]а (0)J | р) как матрицу в пространстве
обычного спина, действующую на спинорные амплитуды нуклона, то при этом
не возникнет член вида ст-х, так как он при отражениях ведет себя как
псевдоскаляр. Таким образом, получаем
СО
#Ра(ю)= ^ dr2nrRj}a (ю, г), (18.443)
о
где
ю = ^ = /со, | к | = у со2 — р,2 (18.444)
И
__________со
- Вц я (to, r)=+i Г- jj dt еы (Р 1 \h (х), 1а (0)] Ip). (18.445)
В формуле (18.445) величина (р | [/р (х), ]'а (0)] [ р) снова
понимается как
среднее по углам, поскольку она является функцией только
г — |х|.
Представление (18.445) позволяет с помощью уже знакомых нам аргументов
заключить, что функция 7?ра (ю, г) является аналитической в полуплоскости
1то)>0. Следовательно, она удовлетворяет соотношению Гильберта, из
которого мы выводим, что
СО -ф СО
Rei?g,H= ' (18.446а)
0 —со
со
= f 2nrdr^\[
} Л I J СО -— со
0 — jx
СО [X
+ ((+ ( ) 1} . (18,4466)
jA —со
774
Тл. 18. Аксиоматическая формулировка
Прежде чем переходить к вычислению выражения (18.4466), рассмотрим
свойства симметрии функции В представлении
со
Вра (и) = + г { d3x [ dteia>t~iVa>2~il2e-x-(pi\ [/р(ж), /а (0)]\pi)
(18.447)
•J •'
о
благодаря Р-инвариантности множитель ехр (—i )/со2 — р2 е-х) можно
заменить множителем cos \ о2 — р2 е- х. Отсюда
7$*(<о) = Д&(-(в). (18.448)
Поэтому если рассматривать амплитуду Ща (со) как ji-ii матричный элемент
оператора /?ра(со), действующего в пространстве изотопического спина
нуклона, то соотношение (18.448) можно записать в виде
РбаИ = Яра(-св). (18.449)
Далее, в силу зарядовой независимости можно представить Рар (со)
разложением
