Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
?/i , Уг
X ---------------------------------------- (18.428а)
2/12/Н-/2/!3 - /у! - ^2-^2cos(0-a)
где
Л^2_^Л2
/ Д/2_?;Л2
АГ2 + и?Ч-х|—(^ui0H 2Ф J
у, = ’ (18-4286)
а переменные м?0, гг? и изменяются в области
W i > PF
j 0 W'i 2~ 1 I ^iO {"^С ~2
[ Х;>Мах {О; ми - ]/(^+ ЩоУ — *4; ш2— |/(^- Фо)2-^} .
(18.428в)
Снова подчеркнем важное значение представления (18.428) дляМ (И7, Д2, ?);
в нем вся зависимость от угла 0 (или от передачи Д2) и от переменной Z,
содержится в явном выражении, стоящем в третьей строке формулы (18.428а).
Величина М (И7, Д2, ?) будет иметь особенности по этим переменным, когда
y2t — K2 = О
и (или)
2/12/2 + Кг/;2 - К.г Уу\ -Я2 cos (0 - a) = О,
при условии, что переменные ut, иц и х^щгринимают значения в области
(18.428а). Можно проверить, что при К2 У 0 и ?<ц2 минимальное значение
величины у\ — К2, когда перЪменные ui0, нг и хг изменяются в области
(18.428в), есть
Min {у\ - К2} = • (18.429)
Поэтому величина у2 —К2 никогда пе обратится в пуль, если т1 > р, т2 > М
и W2 > (ш2 — ту, что всегда выполнено в физических приложениях. Подобным
же образом и вторая возможность при ?<р2 не приводит к особенностям, пока
Д2<Дмакс1 где
А!™ = Min - (18-430)
{Подробности, касающиеся доказательства этих утверждений, см. в работах
§ 4. Дисперсионные соотношения
769
Лемана [494, 495].) В случае рассеяния я-мезонов на нуклонах1)
Дмакс = ^ - 3^‘ <18'431)
Пока Д2 меньше этого значения Дмакс> функция М (W, Д2, ?) аналитична по
Z, в полосе ]Im?|<6, Re ? = < р2. Поэтому правую часть формулы
(18.406) можно продолжить до значения на массовой поверхности ?i = p2
(однако строгое доказательство см. в работе [554]). Этот же подход можно
применить и для доказательства того, что функция g(?), определенная
формулой (18.4146), имеет аналитическое продолжение в точку ? = р2.
Величина g(p2) играет роль константы связи [596].
Однако наша цель еще не достигнута, поскольку дисперсионный интеграл в
дисперсионных соотношениях (18.417) или (18.418) при Д2 ф0 (т. е. в
случае рассеяния не вперед) всегда распространяется и на некоторую
нефизическую область, соответствующую значениям со' < у Д2 + р2 в
(18.417а)2) или W'2 < (У Д2 + М2 + }ЛД2 + р2)2 в (18.418).
Подынтегральное выражение M(W, Д2) = 2 Im Н (И7, Д2) в этой нефизической
области пока еще не было выражено через экспериментальные величины.
!) При рассеянии нуклонов иа нуклонах, когда т 4 = т2 = М -f-р. и РБ;>2р,
ALkc = ^(2M + ^)-^2>
а эта величина положительна, только если
Это означает, что обсуждаемые методы позволяют доказать дисперсионные
соотношения для рассеяния нуклонов на нуклонах вперед, только когда
отношение р/Л7 удовлетворяет этому неравенству. С другой стороны,
Симанзик [763] доказал, что каждый член ряда теории возмущений для
амплитуды рассеяния нуклонов на ну-клопах R (p'q'\ рч) удовлетворяет
дисперсионным соотношениям по W при фиксированной передаче А2, пока А ?<
р/2 (см. также статью Тэйлора [924]). Обсуждение свойств аналитичности
амплитуды рассеяния и вершинных функций в теории возмущений можно найти у
Намбу [572], Накапиши [563], Симанзика [761, 762], Карплуса Соммерфилда и
Уичмэна [430], Тарского [770], Бьоркена [57], Ландау [476] и особенно у
Идена [213 — 215].
2) В формуле (18.417а) переменная интегрирования со не употребляется.
Правда, если принять со в качестве переменной интегрирования, будем иметь
в качестве нижнего предела [см. формулу (18.416в) при ? = р2]
(Л/ + р)2 — р2 — Л72 — 2Д2 (Л/ + р)2— (/д2 + Л/24-/д2 +
р2)2 ,
2 Ба ~ 2 Ел
+ /Д2+ Р2< / д2+р2.
В то же время минимальное физическое значение (о при заданной передаче А
равно (?>мин = У"кмин+р2 = V"А2-]-р2. [Минимальное значение кмин легко
находится по формуле (18.395) как значение, достигаемое при равпом нулю
полном импульсе системы нуклон—мезон д.] Что касается переменной о2 =
И72, действительно употребляемой в формулах (18.417) и (18.418), то при
фиксированной передаче ее минимальное физическое значение находится
следующим образом:
<*мин = ^м2„н = Мт{(?: + со)2-е2} =
=-Мт{(кгд2+^2+/д2+е2+ в2)2—е2) =
о2
= (/д2+л/2+/д2 + р2)2.
[Здесь использованы формулы (18.395) и (18.396).] Если передача не
фиксирована, то для минимума получается меньшее значение: 0мин = ИЧшн =
(Д/ —]-р)2, а оно-то и служит нижним пределом интегрирования в формулах
(18.417а) и (18.418).— Прим. ред.
49 с. Швебер
770
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Леман показал [494], что мнимая часть амплитуды упругого рассеяния л-
мезонов на нуклонах Imi^B7, А2) в нефизической области однозначно
определяется если известна амплитуда в области малых передач
(рассеяние почти вперед) при том же значении энергии. А именно
она опреде-
ляется при помощи аналитического продолжения по переменной передачи
импульса А2. Такая ситуация имеет место всегда, когда отсутствует
нефизическая область для рассеяния вперед. Говоря конкретнее, Леман
показал, что на массовой поверхности ? = р2 для функции М (W, А2) имеется
следующее представление:
