Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
же, как и у функции 7?аа(ш), то сразу же приходим к выводу, что для
функции Т[ (со) справедливо (с точностью до вычитаний) следующее
дисперсионное соотношение:
со
Re Т[ (со) = 4 Р \ cZco' (18.468)
§ 4. Дисперсионные соотношения
111
(поскольку в случае функции Т\ (to) нет затруднений с изменением порядка
интегрирования по г и со). Функция Т{(со), помимо тех особенностей,
которыми обладает функция Т\ (со) [согласно (18.468) и (18.451а), у Т[
(со) имеются разрезы, идущие от —со до — р и от -фр до со],
а2
имеет еще простые полюсы в точках со = ±--”. Таким образом, для
функции Т, (со) можно записать [в предположении, что и>Т^ (со)—>0 при со—
> оо] дисперсионное соотношение
СО
Ве Г, („) = —!y + + (18.469)
“ гм “+2 М »
Константа а в (18.469) есть вычет в полюсе при co = p2j2M я, очевидно,
равна
а — lim (^co-^^ReT^co). (18.470)
Аналогично,
а-*2м
b = lim ^ (“ + -|^)Re7,1(co). (18.471)
Для вычисления этих констант мы возвратимся к выражению (18.442),
определяющему амплитуду 7\(со). Из него следует, что
Re Ti (со) = +i ^ (14хеш~е'х Va2~^z(x) {р | [/„ (х), /а (0)] | р) =
2 \ I ia (°) ! k=e Yш2—Р2, у) I2 2 ' (Р I I—к = —е/со2—р2, у) I2
V у I
Ек—М — со М — со — Ек
(18.472а)
где точки стоят вместо членов, возникающих за счет более высоких по массе
промежуточных состояний (Мп > Ы + р). Эти состояния не могут
давать вклад в полюсные члены при | со j < р.
С помощью представления (18.472а) и определений (18.470) и (18.471)
находим
м_________________________________
а =--^2MU°>l-k= -el/V-p2, у) |2, (18.4726)
v
м—gL ______
2 I (7° I /а (0) 1 к = еУсо2 — p2, у) I2. (18.472в)
м
у
Теперь из тензорных свойств величины /а(0), а именно из того, что она
является вектором в изотопическом пространстве и псевдоска-лярбм в
пространстве-времени, следует, что матричный элемент (Р I ]а (0) | р')
между однонуклонными состояниями ! р) и j р') (р2 = р 2 = М2) имеет
следующую структуру:
778
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
где величина К связана с перенормированным вершинным оператором
Гъ(р2,р'2, (р — р')2)> введенным в гл. 16:
К (р2 = р'2 = М2, (р-р')*) =
= [(/> - /'О2 - 82] Лщ (/>-/>') г5 (Р2 = р'2 = М2, (р - рУ). (18.474)
Поскольку в обсуждаемом случае р — (Ш, 0), //= {"|/co2 + М2 — ц2,
/-------------------------- / м2 \2
± еУ со2 — ц2}, причем со2 = ^ J , то
(р - р'у = (М - У®* - ц2 + М2)2 - со2 - У
га3=
(^)2 (18.475)
Если величину К нормировать при помощи условия К (М2, М2, ц2) = 1, то g
будет перенормированной константой связи Ватсона — Лепора. Далее,
2 « (/О М’б^ (/?') US (р') Тау5М (р)
?V=(s, г)
р=(м,о)— (18.476а)
= « (р) Y5 (р)| Р=(М, о = (18.4766)
= 2м (р° — М)=— (2^)2 , (18.476в)
где волновые функции нуклонов [г) в пространстве изотопического спина не
выписывались явно. При переходе от (18.476а) к (18.4766)
2
было учтено, что 2М)(*|~ 1 и что (та)2 = 1- Собирая различные мно-
1=1
жители, получаем
“ = _ е! (w )!> <‘8.477)
6“+г!(аг)!- <18-478>
В формулах (18.477) и (18.478) мы пренебрегли членами более высокого
порядка по ц2/М2. Этому выводу следует доверять с известной долей
осторожности [например, формула (18.476) свидетельствует о том, что сумма
2l I2 есть отрицательная величина]. Тем не менее он приводит к тем же
результатам, что и Лолее строгий подход, при котором исследуются свойства
аналитичности вершинной части Г5 (М2, М2, ?) как функции ? (см. работу
Оме и Тэйлора [596]). Подставляя значения (18.477) и (18.478) в
соотношение 1(18.469), окончательно получаем
^ СО
Н0Т,М = —---------------------------------------------------(18.479)
“ 1 2 м “ гм ^
где /2 = g2 ^ — так называемая перенормированная константа
псевдовекторной связи. Дисперсионные соотношения с одним вычитанием
записываются в виде
Re (со) — Re Ti (р,) = -jp цУУ Ц2 Л
12 4Af2 J V ~km) Y
CAJ
+ ? (18-480)
§ 4. Дисперсионные соотношения
779
Этот же метод может быть применен для вывода дисперсионного соотношения
для амплитуды Т2 (со) с той лишь разницей, что в данном случае Т2 (со) =
— Т2 (— со). Дисперсионное соотношение теперь будет иметь вид
со
Re Т2 (со) =---------4?--------+ — Р [da 4у4г . (18.481)
' f . р2Л f р Л л \ со 2 — со2 ' '
Нужно отдютить, что интеграл в соотношении (18.481) сходится лучше, и
поэтому можно надеяться, что для обеспечения ого сходимости вычитания не
потребуются. Так или иначе, дисперсионное соотношение с одним вычитанием
запишется в виде
Re Т2 (со) —Re Г2 (ц) =
Г
^ 2-Д +— Р d“' ( >а1т5(У 2с • (18.482)
Iх2 Д Я J (со'2 —р2)(ш'2 —СО2) V
4 Л/2 J V A№j V
Дисперсионные соотношения (с вычитанием) для амплитуд У-(со) и Г_ (со)
можно получить, подставляя в (18.480) и (18.482) амплитуды Tit 2(со),
выраженные по формулам (18.452а) и (18.4526) через амплитуды Г±(со). Если
а+(со) и (со) — полные сечения всех процессов, которые могут идти при
столкновении положительных и отрицательных я-мезонов с протонами, то
тогда, согласно условию унитарности, при со>|т
а±(со) = ^1шГ±(со), (18-483)
где | k j = У со2 — р,2. Поэтому дисперсионные соотношения для амплитуд
