Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
члена в правой части (18.367), когда импульсы частиц находятся на
массовой поверхности. Нужно напомнить, что соотношение (18.363) было
получено из условия SS* = 1, которое предполагалось верным только на
массовой поверхности, т. е. когда р2 = р'2 = М2,. к2 = к'2 = р2.
Благодаря наличию 6-функции вклад во второй труппе членов будут вносить
только те состояния |и), у которых рп = р — к'. Поэтому массы этих
состояний равны
Ml = pl=(p-k')\ (18.368а)
В лабораторной системе квадрат этой инвариантной массы равен
М1 = М2 + ц2-2 Мк0 =
= (M-\i)2-2M(k0-\i), (18.3686)
так что масса Мп всегда меньше М — ц. Однако с самого начала было сделано
предположение, что в теории соблюдается закон сохранения числа тяжелых
частиц. Поэтому барионное квантовое число для промежуточных состояний
должно быть равно +1, поскольку оператор j (х) сохраняет число тяжелых
частиц. Кроме того, предполагается, что наинизшее по массе состояние,
обладающее барионным квантовым числом +1, есть однонуклонное состояние с
массой М (условие стабильности нуклона), и поэтому вклад упомянутых
состояний при р2 = р'2 — М2 и k2 = k'2 = \x2t равен нулю. С .другой
стороны, если рассмотреть реакцию р-)- (— А')—» р' + ( — к) ( — к0,
— к'0 > 0), в которой начальными являются
частицы р и к’, тогда на массовой поверхности будет
вносить вклад
только второй член, а первый не будет.
48*
756
!'Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Если представить рассматриваемый матричный элемент упругого рассеяния
частицы на частице при помощи диаграммы Фейнмана, изображенной на фиг.
148, и если р и к — импульсы начальных частиц, то тогда вклад в Im R
(р'к'; рк) (при р2 = р’2 = М2, k2 = k'2 = \i2) будут
давать только те промежуточные состояния, которые соответствуют
рассечению диаграммы вдоль линии а. Это как раз те состояния, которые
вносят вклад в сумму первых членов в правой части формулы (18.367).
Аналогично, если импульсами начальных частиц являются р и к' (так что—
А'> 0), тогда на массовой поверхности в физической области вклад в Im/?
будет вносить только второй член в правой части (18.367). Наконец, если
начальные ча-к стицы есть частицы с импульсами р и р' (и —р'>0), то
следует ожидать, что вклад в Im/? внесут только те состояния, которые
соответствуют рассечению диаграммы фиг. 148 вдоль линии Ъ. И это
действительно так. Если outip'к' | рк)in ПО одному ин- и одному аут-полю,
Фиг. 148.
привести амплитуду то получим следующие два выражения:
R
и
(р'к'; pk) = i^ &хе^'Ч(х)(к'\ [/(|), / (-у)] I Р) (18.369а)
R(p'k'; pk) = i J d*xeiP+h')j2d(x)(p'\ [/(у). I*>• (18.3696)
Первую формулу можно также переписать в виде
R(pk; р'к') = —г ^ dixel<’v+k) Щ( — х)(р' ] [/(у) . /* у)] \к),
(18.370)
так что
R (р'к'; pk) — R (рк; р'к') =
(2лУ i ^ (6 (Рп ~ Р - к) (р' | / (0)| п) (п | /* (0)| к) -
|п>
-&(Рп-Р' + Р) (р' I /* (°)l п)(п I j (°)1 кУ)- (18.371)
В сумму (18.371) вносят вклад следующие промежуточные состояния j /г).
Если начальными импульсами являются р и к, то остается сумма только
первых членов, а состояния \п) соответствуют сечению а. Если начальными
являются импульсы р и р', то промежуточными состояниями будут как раз те
состояния, которые соответствуют сечению Ъ. Попутно отметим, что
поскольку амплитуды можно также представить в виде
R (п; рк)д(рп-р-к) = (2л)3/1ха(п\1* (0)\к)д(рп-р — к), (18.372)
§ 4. Дисперсионные соотношения
757
то условие унитарности (18.371) запишется R (р'к'\ рк) — R (рк; р'к') =
= 2т 2 {S (Рп — р — к) R (p'k'; п) R (рк; п) —
)п>
— ?>(p — p' + pn)R(p',—p;n)R(k,—k'; п)}. (18.373)
Ряд указанных выше соображений играет важную роль при «выводе
представления Манделстама для амплитуды out{р'к'; рк)in.
Подведем итоги проведенному исследованию двухчастичной амплитуды R («в,
Д2, ?,). Мы показали, что для нес имеется представление
(18.347) и что для 1т/?(о>, Д2, ?) имеется представление (18.350),
(18.357), которое выражает то, что мы назвали обобщенным соотношением
унитарности. Теперь уже можно легко проанализировать зависимость R (со,
Д2, ?) от со при фиксированных значениях Д2 и ?. Однако прежде, чем
переходить к выводу дисперсионных соотношений при Д2 Ф 0, дадим набросок
вывода дисперсионных соотношений для амплитуды рассеяния вперед, когда Д2
= 0. В этом случае амплитуду рассеяния мезона на нуклоне можно записать в
виде
R{pk; рк) — ^ d*x е{*"х (? + М2)2 {к \ R (ф (х) ф* (0))| к), (18.374)
р2 = М2; к2 = ц2,
где р и к — импульсы нуклона и мезона соответственно. Подчеркнем, что мы
выполнили приведение по нуклонным переменным (см. работы Симанзика [761,
762]). В лоренцевой системе отсчета, в которой мезон покоится (к = 0, й0
= р), представление для амплитуды запишется в виде
оо _
R (рк, pk)=i^dt^ а3хе^оХо^ ^ “М2е'х/(Х2, х0), (18.375)
о ...
где функция f(x2,x0) равна нулю при ж0<|х|. Снова выполняя интегрирование
по угловым переменным, получаем
СО оо _
R(pk;pk)=4ni\drr2 \dteiwtb^^J^(k\[f(x),f*(0)]\k) (18.376а) J J у
w1 — М2 г
0 г f
со
= 5 drF(w, г), (18.3766)
