Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
точки Хц связать матрицу
/хО + хЗ х1 — i
\x!-]-ix2 х0 — а
то detX = D(X) имеет величину D (X) = g(lvxM'xv.
а) Пусть матрица
/а 6 W- 1 Н
\У
с комплексными элементами а, |3, у, б имеет определитель, равный единице,
и пусть
/а уЛ
W*~-
есть эрмитово сопряженная ей матрица. Доказать, что соотношение
X' = WXW*
определяет собственное преобразование Лоренца x^=A^xv [т. е. доказать,
что det Л = -4— 1, Ло^>1, все матричные элементы — вещественные
числа и
D(X)=,D{X')].
б) Рассмотрите преобразования, порождаемые матрицами W вида
/“ Р\
Hi» «)’ (1)
det И’- 1, ;
/ а Р\
Н-Р а)’ (2)
detPF=l.
6. Пусть xj ... хп и j/j ... уп — такие две системы вещественных 4-
векторовг.
что
а) xl-xj=yi-yJ (/=1, 2, ... га);
б) каждый из векторов х,- и yt (г = 1, 2, ... га) лежит в переднем
световом конусе или на нем;
в) если все векторы хг изотропны, то они не все коллинеарны.
Доказать, что тогда существует такое преобразование Лоренца Л, Л 6 L\,
при
котором
Лхг = У1 (? = 1, 2, ... га).
7. Подробно продумайте свойства, которые имели бы:
а) частицы с отрицательной массой и отрицательной энергией;
• 50*
788
Вопросы 'и литература для дальнейшего изучения
б) частицы с положительной массой, но пространственно-подобными
импульсами, если бы такие частицы существовали.
Об интересном отступлении от обычного соответствия между неприводимыми
представлениями и элементарными частицами, при котором принимается во
внимание существование античастиц для каждой из частиц, см. статью
Экстейна [219].
Глава 3
1. Получить явное представление волновой функции Ньютона — Вигнера в
конфигурационном пространстве для частицы с нулевым спином,
локализованной в момент времени у0 вблизи точки у.
2. а) Вычислить вероятность обнаружения частицы Клейна — Гордона в точке
у в момент времени у0, если известно, что в момент времени 2 = 0 она была
локализована в начале координат. Получить явные выражения для случая | у
| Д> у0 и для случая | у | < г/о-
б) Обсудить полученный для случая | у | Уо результат в свете
релятивистского принципа причинности, который утверждает, что ни один
сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость
света.
3. а) Получить решения уравнения Клейна — Гордона в однородном постоянном
внешнем электромагнитном поле, тензор которого имеет только одну
отличную от нуля компоненту.
б) По возможности полнее обсудить решения «квадратного» уравнения для
этих случаев.
Глава 4
1. а) Показать, что матрицы Дирака г'ум, удовлетворяющие соотношению
[y,i,yv]+ = 2gtn’, могут быть выбраны так, чтобы каждая из матриц iy** (ц
= 0, 1, 2, 3) была вещественной (представление Майорана [527]).
б) Получить явное представление этих матриц.
в) Матрицы
у,ц = (а —г6у5) Y*\
где
а2__62=1,
подчиняются перестановочным соотношениям [у/|г, y/V]+ = 2g,iv. Получить
явное представление преобразования подобия S, которое связывает матрицы
у'** и у^:
y'ty= iS’-ly^TS.
2. а) Показать, что решения уравнения Дурака с положительной энергией,
нормированные согласно uu=l, могут быть записапы в виде
ГЕ + М Г у0д-р-|
V 2М L Е + М ] °’
где и0 — это либо < лнбо ^ , причем а+ и [5_ — обычные
двухкомпонент-
ные спиноры Паули, соответствующие проекции спина -[- г/2 и —1/2.
б) Найти в явном виде средние значения операторов О^у1*, у^у5, a|iv,
у5 в состояниях us (р) и Vs (р) (т. е. вычислить величины usO;us и
vsOivs). Проанализировать полученные ответы для того случая, когда р =
(0, 0, р).
Вопросы и литература для дальнейшего изучения
3. Получить в явном виде представления для матричных элементов операторов
= Y^Y5- 0|AV> Y5 между спинорами us (р2) и иТ (pt). Подробно
проанализировать
случай, когда
Pi = (E, 0, 0, р),
р2 = (Е, О, 0, —р),
т. е, вычислить величину us (р2) ОрЕ (р{).
4. В некоторой лоренцевой системе отсчета электрон претерпевает рассеяние
из состояния с импульсом pi в состояние с импульсом р2. Показать, что
существует такая лорепцева система отсчета, в которой это рассеяние
сводится только к обращению направления движения.
5. а) Вычислить следы:
Sp {yVy5},
Sp{YaYPY°Ysb
Sp{YaYBY6YeY5K
б) Доказать, что
Sp{*x#2 ... <1„}=4 2,в p(VaP2) (%3'aP4) ••• (V-raPn>’
р
где суммирование распространяется на все возможные способы объединения
векторов в пары с ограничением, что р\<^р2, Рг<.Рк, причем 6p=il, в
зависимости от того, является ли (ргР? ... рп) четной или нечетной
перестановкой чисел (12 3... п). Показать, что имеется (2m)\/2m m\ членов
(n = 2m).
6. Большие и малые компоненты решения уравнения Дирака (р— m) ф =
определяются как г)jJ_ = 1/2 (1 ^ Yo) 'l5- (Выбрано такое представление,
в котором матрица Yo —Р диагопальна.)
а) Найти уравнение для ф+ и показать, что когда кинетическая энергия
частицы Т (pQ — m~-T) мала, Г<т, то ф+ сводится к перелятпвистской
щредин-геровской волновой функции. (Отметим, однако, что «гамильтониан» в
точном уравнении для ф+ не обязательно эрмитов. Почему?)
б) Получить нерелятивистский предел уравнения, которому,удовлетворяет
