Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
представлении в пространстве Фока [773].
5. Рассмотреть в конфигурационном пространстве (пространстве Фока)
систему нуклонов со спином 1/2, описываемых операторами фт (х) (т—индекс
изотопического спина).
Формулировка теории поля, в которой используется принцип Фейнмана [250],
оиисана, например, в статьях Полкингхорна [645] и Мэтьюза и Салама [546].
Глава 9
1. Найти оператор момента количества движения для фотонного поля и
рассмотреть его собственные значения в однофотонном состоянии.
2. Обсудить свойства двухфотонных состояний при преобразованиях Т, С, Р и
СРТ.
О формулировке квантовапной теории электромагнитного поля в кулоновской
калибровке см., наиример, статьи Швингера [718, 719], Валатина [798] и
Озаки [607].
Изложение квантованной теории поля частиц со спином 1 можно найти у Паули
[629] и Вентцеля [836].
Глава 10
О возможной связи между сильными и слабыми взаимодействиями см. статью
Гелл-Манна и Леви [315].
О теории сильных взаимодействий, основапной на идеологии Янга—Миллса, см.
интересную статью Сакураи [687]х).
Глава 11
1. Распространить формализм Липпмана — Швингера и формализм общей теории
рассеяния на случай, когда гамильтониан Н0 имеет связанные состояния.
2. Доказать, что при рассеянии нерелятивистской частицы на потенциале V
/(0, <р) = -~гЙП;к,
Г
где единичный вектор п = — характеризует направление, под которым
производится наблюдение.
3. Показать, что вследствие унитарности ^-матрицы приведенная ^-матрица
s, определяемая согласно
СЕъ, yb\s\ Еа, у а) = s (Еа — Еь) sYbYo (Еа) = б (Еа—Еъ) (уь | « (Еа) |
уа),
может быть преобразована к диагональной форме. Обозначая через Г
наблюдаемые в соответствующем представлении, определим 6Г соотношением
(Г i s ! Г) = с2гбгбгг,.
а) Показать, что тогда приведенная Д-матрица будет иметь вид
(Г'|г | Г) — —sin 8Г 5ГГ,.
!) О правильной интерпретации теорий Янга—Миллса как теорий,
предназначенных для описания частиц со спином 1 в реальных и виртуальных
состояниях, см. в [915].—Прим. ред.
Вопросы и литература для дальнейшего изучения
793
б) Доказать, что для рассеяния бесспиновой нерелятивистской частицы на
сферически симметричном потенциале V величины д/ являются фазами.
Доказать, что фазы зависят только от асимптотических свойств ф)дт (г) =
(rim | ф?>. При доказательстве сначала следует убедиться, что
sin 6* = lim Ь- ,2 {фй;т Гыт (г)} .
4. Доказать, что если 6 (p)Jесть фаза рассеяния для заданного момента
количества движения, а то и т0 — числа связанных состояния гамильтонианов
Н и Н0. для тех же моментов количества движения, то (см. [393])
б (оо) 6(0)=(то — то) л.
5. Доказать, что
+ СО
• 1 Г i
2 ^ е(г — г')ехр[ —г (Еа — Еь) t']dj' = exp [ —i (?а —йь) t] Р ,
— СО
где e(t) = t/\t\. (Обзор теории рассеяния см. в статьях Глаубера [321] и
Бренига и Хаага [85].)
Глава 12
1. Показать, что в нейтральной скалярной теории вероятность найти вблизи
нуклона п (виртуальных) мезонов дается распределением Пуассона
Рп= jj ^ d3kn I <*i. • • ? I ’I'd)) I2-
Показать, что в пределе точечного нуклона вероятность рп равна нулю.
2. Вычислить среднее значение оператора мезонного поля в физическом одно-
нуклонном состоянии в случае нейтральной скалярной теории.
3. Получить гейзенберговские уравнения движения для операторов поля в
модели нейтрального скалярного поля. Вычислить вакуумное среднее значение
произведения гейзенберговских операторов ф (р, t) и ф*(р', Г):
. . <0 | ф (р,- t) ф*(р'> t')-\0) = G (р, р'; "г—г') для г > Г.
Рассмотреть аналитические свойства фурье-образа по i—t' . функции G в
комплексной со-плоскости. Аналогичным образом вычислить и обсудить
<0 | ф (к, «)<р(к\ Н)|0> = ?(к, к'; t-t').
4. Вычислить результат действия Ua (0, —оо) на двухнуклонное состояние Ф*
(Pi) Ф* (Рг) ! 0> в нейтральной скалярной теории.
5. а) Показать, что неренормировапный гейзенберговский оператор нуклон-
ного поля в скалярной модели
Фк(*) = /2ф(г)
имеет конечные матричные элементы между физическими состояниями (т. е.
собственными состояниями гамильтониана Н) даже в пределе а (к2) ->? 1 при
всех к.
б) Показать, что в пределе точечного источника фд (t) (t ф 0) при
действий на вакуумное состояние не приводит к вектору в гильбертовом
пространстве.
в) Вычислить [1 фд (t) Фг ]|2 и || фн (t) ф ||2, где | ф>— произвольное
состояние'. Показать, что одна из этих двух величин пропорциональна Ъ~1 и
поэтому становится бесконечной в пределе f —> 1.
794
Вопросы и литература для дальнейшего изучения
6. По возможности полнее рассмотреть модель Ли, в которой 0-частица имеет
только одну степень свободы и гамильтониан которой имеет вид
Я0 = (гегу + 6т) V*V + rnN7V*JfV-f(i0*0,
HI = g(V*NQ+N*VQ*), а перестановочные соотношения для операторов суть
[V*, F]+ = [7V*, tf]+ = [0, 0*] = 1,
[0, 0] = [Р. 7V]+ = [7V, Л]+=... [V*, 7V*]+ = 0.
7. Рассмотреть модель Ли для одиночных V- и N-частиц
Н = mvF*F-j-TON7V*7V+ ^ d3ku>ka* (k) a (k)-)-g0 ^ (V*Na (к) -j-7V*Fa*
(к)) / (к) d3k.
Показать, что взаимодействие V- и N-частиц с 0-частицами осуществляется
