Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
8. Определяет ли в принципе точное уравнение Бете — Солпитера высшие
возбужденные состояния атома водорода?
9. Получить выражение для сечения упругого рассеяпия фотона па атоме
водорода в основном состоянии. Связать эту величину с выражением,
содержащим амплитуду Бете — Солпитера для основного состояния.
Глава 18
1. Найти функции Уайтмана для теории свободных частиц со спином 1/г-
2. Показать, что если двухточечная функция Уайтмана W (g) для скалярного
поля ф (х) совпадает с двухточечной функцией Уайтмана W,0) (?) для
свободного поля при ?о = 0> то Ф (х) является свободным полем. (Это
утверждение называют теоремой Хаага [347]; см. также статьи Холла и
Уайтмана [355], Гринберга [340] и Федербуша [233, 234].)
3. Рассмотрим двухточечную функцию Уайтмана (xit х2) ^ля [спинор-
ного поля ф(я).
а) Найти вытекагбщие из релятивистской инвариантности требования и
показать, что ' I \
{ J и^(—!)=—IpW’ (?).
б) Дать доказательство теоремы о связи между спином и статистикой для
случая спина, равного V2.
4. Что утверждает СРГ-теорема относительно одновременных перестановочных
соотношений для различных фермионных полей?
5. а) Показать, что функцию Уайтмана для [вакуумного среднего от
произведения трех операторов можно записать в виде
WABC = jj dip jj
CO CO CO
x { da { db С dcb{p2 — a)b(p'2 — b)b{p'pf — c) 0 (p) 0 (pr) GAEC(a, b,
с), 0 0 ун-
если в полной мере использовать спектральные условия и релятивистскую
инвариантность.
Вопросы и литература для дальнейшего изучения
803
б) Провести интегрирования по р и выявить зависимость функции А+(х —
Х',.х' — х", а, Ь, ')=-^уГ \ diP ^ dip'e~iP-(-x-x''l-iP'(-x'-^Х
Х0 (р) 0 (Р’) 6(р2 — а) 6 Ср'2 — Ь)6(р-р' — с\
от аргументов х-г-х' и х'—х".
в) Найти СЛВС (а, Ъ, с) для случая, когда А (х) = В (х) — С (х) являются
свободными скалярными нолями.
6. Найти такие ограничения на коэффициентные функции ап в разложении ^-
матрицы (18.117), которые обеспечивают стабильность вакуумного и
одночастичного состояний.
7. Что характеризует теорию свободного скалярного поля на языке т-функ-
ций? Отправляясь от системы свободных полей, получить приближенные
решения уравнения (18.199) методом теории возмущений. В чем заключается
связь этих решений с решениями по теории возмущений в теории поля с
взаимодействием вида Ct(p4 (х)-\-С2у6 (х) + ... [491, 586]?
8. Сформулировать метод Дайсона вывода представлений для причинных
функций при помощи перехода в пятимерное гиперболическое пространство.
9. Показать, что гейзенберговские операторы ср (х), фурье-образы которых
<р (к) удовлетворяют перестановочному соотношению
ОО
[ф (*), ф(?)1= ^ d*2 ^ d*ub(^ ^u-f--^-(A— q)2 j — х2^ s (u—~(k — g)^x 0
ХФ^х2, u+-i(*+?), + +
где оператор Ф зависит от переменных х2, и и (A-f- q), являются
локальными.
10. а) Вывести формулы приведения для Т- и Д-произведений операторов
частиц со спином 1/2. С помощью этих формул вывести, в частности,
замкнутые выражения для амплитуд рассеяния следующих процессов:
1) JV-j-я -» N + Я,-
2) N+N-* N.+N,
3) N + N -* N+N,
4) N+N -» Я^я,
5) 7V-[- я ->? iv+ Л,'
6) Я -[-2V -+ 2я + 7У,
в которых нуклоны (N) рассматриваются как частицы со спином V2 (как в
обычном, так и в изотопическом пространствах), а я-мезоны—как частицы со
спипом 0’ и изотопическим спином 1.
б) Получить выражение для абсорбционной части амплитуды рассеяния для
каждого из перечисленных выше процессов.
в) Обсудить соотношение (18.348) вместе с соотношениями (18.350) и
(18.357) в связи с обобщением соотношения (18.170) на случай двух полей.
С теорией дисперсионных соотношений для нсрелятивистских шредиигеров-ских
амплитуд рассеяния, которая не затрагивалась в тексте, можно ознакомиться
по статьям Хури [442], Клейна и Земаха [453] и Блапкенбеклера и др.
[60]..
Весьма полная сводка литературных данных по дисперсионным соотношениям,
так же как изложение состояния теории дисперсионных соотношений по
состоянию на 1958 г., содержится в лекциях Тэйлора [771],
51*
804
Вопросы и литература для дальнейшего изучения
11. Предположим, что поля cpi, ф2, фз взаимодействуют с промежуточными
полями фа, ф{„ ф. следующим образом:
•%ш = Й4ф1фьфс + ?2ф2фафс + ?зфзфаф?-
Массы соответствующих квантов равны mlt т2, т3 и та, тъ, тс, и критерии
стабильности заключаются в том, что
ml <[ m[,-L тс, т2 < та-\-тс,
а) Показать, что фурье-образ Т (р\, р1, р%) вершинной части
(01 Г(ф4 (xj) ф2(х2) фд (ж3)) | 0> в низшем порядке теории возмущений
имеет
следующее представление:
1
п* "2' = const 1 e(l-a-P-Y)dadMY.
о
т (рЬ Pl ,Рз) = const
I Hi
б) Обсудить аналитические свойства Т как функции р\, когда р\ и р\
находятся на своих энергетических поверхностях. Выразить эти
аналитические свойства на языке дисперсионных соотношений.
12. а) Ограничимся при вычислении величины
Im Г (а, Д2) = Л/ (ш, Л2) (м>0)
только вкладом от состояний из одного мезона и нуклона. Показать, [что,
применяя к этому выражению формулы приведения, можно получить нелинейное
