Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
последовательность функций (xif . . . хп),
п = 1, 2, . . ., удовлетворяющих некоторым определенным условиям,
§ 1. Формулировка Уайтпмана
683
можно восстановить теорию поля, для которой VF(Tl) будут средними по
вакууму. Поэтому при изучении релятивистских теорий поля можно
ограничиться рассмотрением только этих средних по вакууму. Мы здесь
кратко изложим программу Уайтмана для случая нейтрального скалярного поля
ф(:г), взаимодействующего с самим собой. Хотя наше рассмотрение будет
касаться только скалярного поля со спином 0, однако метод легко обобщить
на случай произвольных полей. То же самое относится и к выводу Уайтмана,
что теория однозначно определяется своими средними по вакууму.
Функции Уайтмана определяются, согласно (18.7), как средние по вакууму от
произведений операторов поля. Эти функции следует понимать как линейные
функционалы1), которые каждой бесконечно дифференцируемой функции f (хи
... хп), равной нулю вне ограниченной области 4га-мерного
пространственно-временного континуума, ставят в соответствие комплексное
число
ТУ<П) [/] = ^ tfxi ... tfxnW™ (хи ... xn)f (хи ... хп).
Это можно рассматривать как математическое отражение того факта, что
наблюдаемыми являются только средние по некоторой области пространства-
времени от оператора поля ф (х), т. е. только операторы вида
Ф (/)= jj d*xf(x) ф (х). (18.8)
В качестве класса функций / (х) (обычно называемых основными функциями),
на котором предполагаются определенными функционалы ф (/), берется класс
3 всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным пространственно-
временным носителем 2) (что отражает возможность проведения измерений
поля в конечных пространственно-временных областях). Тогда величина ф
(/) 'Р) является линейным
функционалом относительно /. Чтобы придать функционалу ИТу [/] более
строгий математический смысл, требуют далее, чтобы Wy [/„] —> 0, если
последовательность основных функций {/„} сходится к нулю. О
последовательности говорят, что она сходится к нулю, если носители всех
функций /„ содержатся внутри компактного множества и если функции /„, а
также их производные равномерно сходятся к нулю3). Линейный функционал Т
на S, который обладает указанным выше свойством непрерывности, когда Т
[/„] сходится к нулю для любой сходящейся к нулю последовательности {/„},
называют обобщенной функцией (см. книгу Шварца [707] и статью Гёрдинга и
Лайонса [294]). Таким образом, среднее
Ww[f] = C?, ф(/)Т) (18.9)
*) Функционал Т на некотором пространстве S есть операция/ которая
каждому элементу / из § ставит в соответствие комплексное число,
обозначаемое T[f\. Функционал на S называют линейным, если
а) Т1[/1+/2] = Г[/1]-(-Г[/2] для /j и /2 из §,
б) T[a/] = aT[/] для всех / из S и каждого комплексного числа а.
2) Носитель для / есть дополнение (замыкание) наибольшего открытого
множества, на котором / равна нулю, т. е. в сущности оно является
множеством, на котором / отлична от нуля. Для наших целей под компактным
множеством достаточно понимать замкнутое и ограниченное множество.
3) Равномерная сходимость требуется только для производных любого
фиксированного порядка, но не всех порядков сразу.
084
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
есть обобщенная функция на пространстве 3) всех бесконечно
дифференцируемых функций с компактным носителем. Более того, п-точеч-ное
среднее по вакууму
W{n) (хи ... я„) = (Т0, ф (х^ .. . ф (хп) ?0) (18.10)
является обобщенной функцией в отдельности по каждой переменной яг:
[fi, .../„] = (Т0, Ф (Л) • • • Ф (/»)>о)- (18.11)
Она обладает единственным продолжением, превращающим ее в обобщенную
функцию во всем пространстве 4п измерений. Таким образом, символу W<m ...
хп) придается точный смысл при помощи бесконечно дифференцируемых
основных функций / (яь... хп), равных нулю вне ограниченной области 4п-
мерного пространства. Хотя с достаточной строгостью определены только
обобщенные функции Wm[fu ... /„], или более обще, Ww[f], тем не менее мы
будем продолжать работать с функциями Уайтмана W(m (дц, ... хп). Более
строгое рассмотрение читатель может найти в других работах Уайтмана (853,
854] (см. также статьи Шмидта и Баумана [704] и Гёрдинга и Лайонса
[294]).
Пусть теория лоренц-инвариантна, т. е. инвариантна относительно
преобразований
U (а, Л)|?0) = |?0), (18.12а)
U (а, Л) ф (х) U-1 (а, Л) = ф (Ля + а). (18.126)
Инвариантность относительно ортохронных преобразований Лоренца означает,
что функция Уайтмана обладает свойством
Wm (яь х2, . . . хп) = (Т0, ф (я0 ф (я2) ... ф (я,,) Т0) =
= (U (а, А) Т0, U (а, А) ф (яО С/-1 (a, A) U (а, А) . . .
... U (а, А) ф (я„) С/'1 (a, A) U (а, А) Т0) =
= W(m (Ая^а, Ля2 + а, ... Ля п + а) (18.13) -
(при преобразованиях без обращения времени).
Если преобразование Л содержит обращение времени, в связи
с чем оператор U антиунитарный, тогда
(х{, ... хп) — (Axv -fa, Ля2 + а, ... Ахп-\-а) (18.14)
(при преобразованиях с обращением времени).
Из трансляционной инвариантности следует, что функция
