Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
ценой, связанной с физической интерпретацией амплитуды. В частности, не
имеет непосредственного физического толкования зависимость амплитуды от
относительного времени т10- х2о-
Вик [848] и Куткоский [147] достигли существенного успеха в выяснении
этих непривычных черт уравнения Бете—Солпитера. Вик указал, что из
определения (16.322) амплитуды Бете — Солпитера и простых требований
стабильности получается дополнительное условие для амплитуды. Здесь мы
кратко изложим аргументацию Вика для случая атома водорода.
Из формулы (17.323) следует, что если система находится в покое, т. е.
р(а> = 0, то двухчастичная амплитуда %pa(xi, хг) имеет вид
%pa(xi, х2) = e~iETiya{x), (17.333)
где Е — полная энергия системы; Т — временная координата центра
масс; х — относительная координата двух частиц, х — Х\ — х2?
Введем
теперь энергию связи В рассматриваемого связанного состояния Е = тпе + Мр
— В и заметим, что
Е = те-\-Мр — В < те + Мр; ? (17.334)
здесь те и Мр — массы электрона и протона.
Если в равенство (17.320а), определяющее %ра (а^, я2), ввести полный
набор состояний, то при х10 > х20 получим
Хра (х1, хг) = 2 (Ф’о1 Фе (xi) | n> (n) фр (х2) ] ра>. (17.335)
|п>
Состояния |п), дающие не равный нулю вклад в %ра, принадлежат к особому
классу состояний. Ясно, что они должны быть собственными функциями
оператора полного заряда с собственным значением — е. Далее, в системе
координат, где полный импульс равен нулю, они должны быть собственными
функциями оператора полного момента количества движения с собственным
значением—1/2h. Все известные в природе состояния с полным зарядом — е и
моментом количества движения в системе покоя, равным 1/3 %, удовлетворяют
условию
Ei-tfn>m2e, (17.336а)
где Е„ и р„—полная энергия и полный импульс состояния | п). Знак
равенства имеет место лишь для физического одноэлектронного состояния, т.
е. для состояния, в котором есть один и только один физический электрон.
Приведенное неравенство Вик называет условием стабильности для электрона.
Затем он предполагает, что физическое одноэлектронное состояние [для
которого в соотношении (17.336а) нужно брать знак равенства] обладает
наинизшей энергией среди всех состояний, дающих вклад в сумму (17.335).
Аналогичным образом получаем, что состояния |п'), которые дают вклад в
амплитуду при отрицательном относительном времени х0, характеризуются, в
частности, такими собственными значениями энергии и импульса, что
En' — Vn’ >М%. (17.3366)
678:
Гл. 17. Гейзенберговская картина
Это соотношение Вик называет условием стабильности для протона. Три
неравенства (17.334), (17.336а) и (17.3366) служат основой для
последующего обсуждения. Из (17.335) и (17.323) легко установить, что fpa
(х) при х0 > 0 имеет следующую структуру:
__. / (п) гпе \
/р<*И = 2 {^ФЛ0) 1п>(п1Фр(°) ]Р> «>е ' Мр+те-1Р)Х1 (17.337)
| п>
где р— вектор энергии-импульса состояния j р, а). Используя неравенства
(17.334), (17.336а) и (17.3366), находим
Р(п)0-1^Р0>м-рТ^в>°- (17-338)
Отсюда вытекает, что при х0 > 0 амплитуда fpa{x) содержит только
положительные частоты. Таким же образом следует, что при хй < О /ра(я)
является суперпозицией членов только с отрицательными частотами. Поэтому
fpa(x) обладает свойствами, аналогичными свойствам фейнмановской функции
распространения.
Итак, при х0 > 0 можно написать
ОО
/ра {%) — ^ d3q ^ da>gpa (q, to) (17.339)
“мин
где
“мин = В -t- (ml + р2)'/2 — Ще. (17.340)
те\ р
Рассматривая fpa (х) как функцию комплексного переменного х0, можно
аналитически продолжить ее в нижнюю полуплоскость, в область 0>argx0>—я.
Аналогично, отправляясь от fpa(x) на действительной отрицательной оси,
можно продолжить эту функцию в верхнюю полуплоскость, в область я> argx0
> 0. Кроме того, поскольку В > 0, fpa (х) стремится к нулю, когда х0—> со
в верхней или нижней полуплоскости по любому направлению, не совпадающему
с действительной осью.
Если записать / (х) = /4 (х) + /2 (х), где fl(x)= 0 при х0 < 0, а /2 (х)
= 0 при х0 > 0, тогда, вводя в импульсном пространстве функции
СО
<Pi(q> 9о) = ~щг 5 dbxe~i4^ ^ dxae4*x*f(x), (17.341)
о
о
фа(Ч. ?о) = -(2й)4' S d3xe~iq'* \ dx^wof (х) (17.342)
— ОО
и используя (17.338), легко получить
ОО
Ф1(Ч, = S -«-t-ie'(17’343)
“мин
где е —бесконечно малая положительная добавка. Из этого представления
следует, что ф! (q, q0) — аналитическая функция в комплексной плоскости
д0 при условии
2it > arg (q0 — шмин) > 0. (17.344)
§ 6. Проблема связанных состояний
679
Аналогичные утверждения справедливы и для <р2- Можно показать, что
функция ф(д) = tp(q, 5о) = (Pi(<?) + ф2(<?) определена в комплексной
плоскости переменной q0 с двумя разрезами, идущими от ©мин до + оо И от —
оо до ©макс где
- ©макс = -мр^те В+(МЬ+ ^ “ М(17‘345)
Поэтому функцию ср можно аналитически продолжить через промежуток между
разрезами из верхней полуплоскости в нижнюю. Существование этого
промежутка связано с тем, что В > 0.
Указанные аналитические свойства волновых функций можно использовать,
