Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
исследовании проблемы связанных состояний в релятивистской теории поля.
Проблему связанных состояний можно рассматривать с двух тесно
соприкасающихся точек зрения. Одна из них заключается в обобщении понятия
фсйнмановских функций распространения на многочастичные системы. При
другом подходе имеют дело непосредственно с амплитудами, которые являются
аналогами «волновых функций» в нерелятивистском случае (см. работы
Фейнмана [251, 252], Швингера [715], Солпитера и Бете [696], Гелл-Манна и
Лоу [301], Нишижимы [578] и Фриза [277, 278].
Рассмотрим сначала задачу описания одноэлектронной системы в слабом
статическом внешнем поле, когда учитывается влияние квантованного
излучения и электронно-позитронного поля. Известно, что если влиянием
квантованного поля излучения пренебречь, то операторы фр(а;), описывающие
квантованное электронно-позитронное поле, удовлетворяют уравнению
движения
(гуц дя + (х) — т) фе (х) = 0. (17.280)
Кроме того, при достаточно слабых полях существует стабильный
вакуум |Ф„), и состояние
|Ф^> = ^ йац^ф^у^Ог^Ф;;) (17.281)
а
описывает одноэлектронное состояние и не зависит от а. Здесь ср„ (х) —
решение уравнения Дирака с положительной энергией во внешнем поле Ае>1
(х). Состояние |Фп) является собственным состоянием Р0,
полной энергии системы полей, с собственным значением Еп (где Еп —
собственное значение энергии для функции срп). Наоборот, одновременные
перестановочные соотношения
{фе (х), фе {х’)}х-Х'а = у°6(3) (X- х')
(17.282)
666
Гл. 17. Гейзенберговская картина
и свойство вакуума быть состоянием с наинизшей энергией позволяют
заключить, что
(Фо I Ф* (х) I Ф^> = Фга (х)- (17.283)
Эта амплитуда <p„ (х) будет удовлетворять уравнению
(«Ун д» + ey^Aw (ж) — т) ср„ (ж) = 0, (17.284)
поскольку ему удовлетворяет фе(х), а также уравнению
гд0<р„(ж) = ?„<р„(ж), (17.285)
если | Ф?) — собственное состояние Р0 с собственным значением Еп.
Доказательство:
<Ф* | [Р0, фе (ж)] | Ф^> id0 <Ф‘ | фе (ж) | Феп) =
= (Фе0\^(х)Еп\Феп). (17.286)
Когда учитывается влияние квантованного поля излучения,вектор состояния
системы в картине Фарри удовлетворяет уравнению
ihdt\WF(t)) = HIF(t)\WF(t)) =
= - е ^da (ж) : ф* (ж) у^е (ж) : А'» (х) | WF (t)), (17.287)
где тре (х) — фермионные операторы в картине Фарри, удовлетворяющие
уравнению (17.280). Замечания, сделанные в § 1 этой главы, предполагают,
что векторы
IW \ Ue (0> ^о) /Л 7 OQQ\
1 ^“ti-оэ (®S, <0)®S) (17.288)
рассматриваются как «физические» собственные векторы, которые описывают
систему с учетом поля излучения. Однако только в случае состояния вакуума
|Ф*} и для одной частицы в низшем связанном состоянии получающиеся
состояния | У) будут собственными состояниями Р0 с дискретными
собственными значениями. Наше утверждение состоит в том, что
энергетический спектр объединенной системы электронно-позитронного поля и
поля излучения имеет дискретное собственное значение при р0 = 0, которое
соответствует вакууму; непрерывный спектр, начинающийся с рв = 0 и
соответствующий состояниям с одним, двумя и т. д. фотонами; дискретное
собственное значение при ал—е0 (где е0 —энергия связи ls-состояния с
учетом всех радиационных поправок) и непрерывный спектр, начинающийся в
этой точке и соответствующий состояниям одного электрона с одним, двумя и
т. д. фотонами. Дискретные собственные значения оператора Р*°\ которые
соответствуют связанным состояниям ср„ и появляются при т — Еп, когда
пренебрегается влиянием квантованного поля излучения, в результате
взаимодействия с ним приобретают отрицательную мнимую добавку и смещаются
с действительной оси в комплексной плоскости энергии. Физически эта
формулировка означает, что высшие возбужденные состояния нестабильны
относительно переходов в нижние состояния с испусканием фотонов.
(Состояния, содержащие один электрон в низшем состоянии, конечно,
стабильны в силу сохранения заряда.)
По аналогии со случаем, когда отсутствует поле излучения, будем описывать
одноэлектронную систему с гейзенберговским вектором состоя-
§ 6. Проблема связанных состояний
667
ния 1^} амплитудой
/(*) = (?„, i|> (*)?), (17.289)
где if (я) — гейзенберговский оператор электронно-позитронного поля,
взаимодействующего с внешним полем и полем излучения. Оператор ф(я)
удовлетворяет уравнению
(г\д др. — т) if (я) = — еуц (Ае**? (я) + А*1 (я)) if (я). (17.290)
Так как |\F), по предположению, есть одноэлектронное состояние (так что
Q|\F) = — e|\F)), то амплитуды
f(xu ...хп) = (?о, Т (ф (я,) ... ф (Я„) W) (17.291)
равны нулю, а амплитуды
/pT.m.V« (*> Уи • • • У„; гь ... z„) =
= (?0,7’(ф(я)ф(я1) .. .if (я^ф^) ... ф (уп) АЦ1 (zt). . . AM„(zn))?0)
(17.292)
отличны от нуля. То, что последние амплитуды не равны нулю, связано с
возможностью рождения пар внешним полем и с возможностью испускания
фотонов нашей одноэлектронной системой.
Рассмотрим несколько более подробно «одночастичную» амплитуду / (я),
определенную равенством (17.289). Используя соотношение
