Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Ww) (яъ . . . я„) зависит только от разностей координат:
W™ (я„ . . . хп) = W<"> (?ь . . . ?.-0, (18.15а)
где
h = xl — я2
lj = Xj - Xj+i
— — xn. (18.156)
Тогда инвариантность относительно однородных преобразований Лоренца
означает, что
^<п,(?ь ... in.-1) = W(n) (А|ь (18.16)
§ 1. Формулировка Уайтмана
685
Из предположения об эрмитовости оператора поля <р (х) = ср* (х) следует
(?0, ф (zj) “ ф (хп) ?0) = (W0, ф*(а:п) ... ф* (zt) Чд =
= (Y0, Ф Ф (*0 Y0). (18.17)
При помощи функций Уайтмана это равенство записывается в виде
Й^п»(*1, ... xn) = W™(xn, Xl). (18.18)
Предположим, что существуют фурье-образы функций Wln> и, следовательно,
эти функции представимы интегралом Фурье
П—1
-* 2 pj'h
И™ (g„ ... ?„_,) = ^ dtp 1 ..Л d4pn-ie i=i W™ (Pi, .. . pn_t)
(18.19)
(для этого требуется, чтобы функции W(n) имели на бесконечности не более
чем полиномиальный рост). Поскольку множество физических состояний не
содержит состояний с пространственно-подобными импульсами или с
отрицательной энергией, то отсюда следует, что функция (ри ... pn-i)
равна нулю вне области значений р|> 0 и pi0> О (г= 1, 2, ... п — 1).
Доказательство: По предположению существует полная система состояний | р,
а), которые являются собственными функциями оператора энергии-импульса Рц
и соответствуют его собственным значениям р^, таким, что р2> 0, р0>0.
Поэтому, вставляя с помощью соотношения
полноты 2 I Ра) (Ра 1 = 1 суммы 2 I Т301) (J0011 по полной системе
состояла) |ра>
ний в выражение (18.7), определяющее функции Win\ получаем Wm(xu ... хп)
=
= 2 <^о I Ф (х0 I Piai) (Piai | ф (^г) | Р2аг) • • | ф
fan) I ^0) =
|Р1«1 ). . . 1рп-1«п-1>
= 2 <^о|ф(0) IPtOt) . . . (/>„_!<!„_! (ф(0) I У0) X
|Piai>. . . |Pn-i«ra-i>
у e-*Pi-(xi-X2)e-ip2-(х2-*з) _ _ _ g—ivn-i - (xn-i—xn) 7 (18.20a) '
так что
W<n> (Pl, ... pn_t) =
= 2 I Ф (0) I Piai) (Piai i ф (0) | РгО-г) ???(Pn-ian-i | Ф (0) |
^о).
ai...ая-i при фиксированных Pi, . . . Prt-l
(18.206)
Из формулы (18.206) вытекает, что функция Wm> (Pi, ... pn-i) = 0 вне
области значений pj0>0 и р|>0, так как в (18.206) рг есть 4-импульс
физических состояний. Отсюда следует, что функции lH(n)(5i, . . . |n-i)
являются граничными значениями аналитических функций. Это утверждение
доказывается следующим образом. Запишем векторы
(/=1, 2, ... п-1), (18.21)
где 4-векторы r\j предполагаются лежащими внутри светового конуса
будущего. Определенная таким образом открытая 8 (п — 1)-мерная
686
Гл. 18 Аксиоматическая формулировка
область 8 (п— 1)-мерного пространства векторов ... tj,, ... т)п_,
называется трубой будущего Т„. Очевидно, что функция Win) (?ь ...
определяемая выражением
^’(Eb ... CB_l)=W<n>(lt-iTlif ... =
П— 1
-> J Pj-(.lj-ii\j)
= J d*Pl ... ^ dipn-te 1=1 #(n) (pu ... pn_t), (18.22)
является аналитической функцией по каждой переменной ^ (произведение pj-
r\j всегда больше нуля, и этим обеспечивается сходимость определяющего
интеграла для широкого класса функций W(а>). Таким образом, функция W{,i)
(%и ... ?,n-i) являетсц граничным значением функции, аналитичной в трубе
будущего.
Локальные перестановочные соотношения [ср (сс), ф(х')]=0 при (х — х')2 <
О означают, что
Wln) (хи . .. Xj, xj+l, ... хп) = W™ (хь . . . Xj+i, Xj, . .. хп),
(18.23)
если точки Xj и Xj+i разделяет пространственно-подобный интервал. При
помощи аналитического продолжения эти соотношения можно распространить на
аналитические функции Win) (?_,•).
Наконец, поскольку длина любого вектора в гильбертовом пространстве
положительна или равна нулю, то
Г*
II «о/о^о + ai ^ d*xifi (xt) ф (х4) Т0 + ...
... + а„ \ d*xj ... ^ dixnfn (хи . ?. x„) cp (xt) .. . ф (x„) T0 + ...
||2 > 0
(18.24)
при всех значениях a0, a1; ... a„, ... и для всех основных функций.
fi(xi), ... fn(xi, ... х„), ... . Из неравенства (18.24) выводится
бесконечная последовательность неравенств
2 aiaj ^ d4xt ... ^ dixl ^ diyl ..'. ^ d^jft (хи х2, ... х;) X
X W{Ui) (хи Xt-i, ... хи yi, ... yj) fj (yu . .. y}) > 0. (18.25)
Уайтман называет совокупность неравенств (18.25) условием положительной
определенности1).
Важное значение приведенной выше формулировки релятивистской теории поля
связано со следующей теоремой Уайтмана [852]:
Теорема. Пусть Wm) (х4, ... х„), п = 0, 1, 2 . . ., есть
последовательность обобщенных функций в пространстве 4п измерений, и
пусть они удовлетворяют условиям релятивистской инвариантности (18.13),
(18.14), эрмитовости (18.18), локальной коммутативности (18.23) и
неотрицательности (18.25). Тогда существует гильбертово пространство Jjg,
представление неоднородной группы Лоренца U (а, А), состояние вакуума |
То) и нейтральное скалярное поле ф(х), такие, что ц-точечное среднее по
вакууму от произведения операторов ф (х) будет равно W(n) (хь х2, ...
хп).
г) Точнее говоря, это условие «неотрицательности»—Прим. ред.
§ 1, Формулировка Уайтмана
687
Другими словами, в этой теореме утверждается, что если задана
последовательность обобщенных функций, удовлетворяющих условиям (18.13),
