Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
представления ортохронной неоднородной группы Лоренца унитарными
операторами U (а, Л), при котором пространство § унитарно.
Отсюда следует, что существуют эрмитовы операторы1) сдвига Р^ со
свойствами
1Л» -Pv] = о, (18.1а)
(Р„, F(x)\ = id»F(x), (18.16)
где F(x) — любой гейзенберговский оператор, не зависящий явно от
пространственно-временных координат. В представлении, в котором операторы
(р. = 0, 1, 2, 3) диагональны, а гильбертово пространство !д натягивается
на базисные векторы | р, а)
Р„\р, а) — p^j р, а), (18.2)
постулат III может быть сформулирован точно. Он гласит:
III (а). Существует единственное инвариантное состояние — вакуум ] ’Fo),
характеризующееся тем, что
U (а, А) | ’Fo) = | ’Fo). (18.3а)
III (б). Для всех остальных состояний | р, а) собственные значения Рц
являются времени-подобными или изотропными с положительной временной
компонентой р0.
Из (18.3а), рассматривая бесконечно малое преобразование, можно вывести
Pll|’F0) = Mllv|’Fo) = 0. (18.36)
Наконец, в этих исследованиях также обычно предполагают, что
IV. Теория локальна, т. е. полевая наблюдаемая в точке х коммутирует с
полевой наблюдаемой в точке х', если точки х и х'
разделены пространственно-подобным интервалом (х — х')2 < 0.
Для определенности возьмем теорию нейтрального скалярного поля,
описываемого с помощью оператора поля ф(я), который при преобразованиях
неоднородной группы Лоренца преобразуется как скаляр
Ф* (х) = ф (я), (18.4)
U (а, Л) ф (х) [/"’ (а, Л) = ф (Ах + а). (18.5)
Тогда постулат IV означает, что
I [ф (х), ф (х’)\ = 0 при (х — я')2 < 0. (18.6)
Это требование, иногда называемое принципом микропричинности, есть
математическое выражение факта, что точки, разделенные нростран-
*) В настоящей главе мы будем иметь дело исключительно с
перенормированными гейзенберговскими операторами и векторами состояния.
Поэтому обозначение их при помощи светлых символов не приведет к
недоразумению.
682
Гл. IS. Аксиоматическая формулировка
ственно-подобным интервалом, не могут обмениваться никакими сигналами, и,
следовательно, измерения в этих точках не могут интерферировать. Вопрос о
том, можно ли объяснить свойства и взаимодействия физических частиц,
описывая их при помощи локальных операторов, в настоящее время остается
открытым. В § 4 мы подробно разберем следствия условия локальности,
касающиеся аналитического поведения амплитуд рассеяния.
Теперь мы дадим краткое изложение формулировок теории поля Уайтмана и
Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ). Подходы Уайтмана [852] и ЛСЦ [491,
493] отличаются тем, что Уайтман исследует теорию с помощью средних по
вакууму от произведений операторов, тогда как ЛСЦ проводят свой анализ
при помощи средних по вакууму либо от хронологически упорядоченных
произведений операторов [491 ], либо от запаздывающих произведений
операторов [493]. Аксиомы теории, главным образом аксиомы релятивистской
инвариантности, спектральности и локальности, могут быть выражены как
некоторые свойства этих средних по вакууму и как некоторые соотношения
между ними. Точнее говоря, если теория анализируется при помощи средних
по вакууму или от произведений операторов поля (функции Уайтмана), или от
запаздывающих произведений операторов поля (г-функции), то требования
релятивистской инвариантности и локальности, а также условия
спектральности выражаются линейными соотношениями для этих функций. G
другой стороны, соотношения неотрицательности для функций Уайтмана и
условие унитарности для г-функций являются нелинейными соотношениями
между этими функциями. Это деление теории на линейную и нелинейную части
является важной чертой аксиоматического подхода. В противоположность
лагран-жеву подходу, когда любая линейная теория тривиальна, а любая
представляющая интерес теория неизбежно имеет нелинейные уравнения поля,
сложность которых препятствует каким-либо строгим заключениям о свойствах
их решений, при аксиоматическом подходе линейные соотношения имеют
нетривиальное содержание.
В первых двух параграфах мы дадим очерк этих формулировок. В § 3
рассматривается представление Дайсона — Йоста — Лемана для матричного
элемента причинного коммутатора. Это представление позволит нам в § 4
обсудить аналитические свойства двухчастичной амплитуды для упругого
рассеяния и ввести понятие дисперсионных соотношений. В § 5 мы попытаемся
подвести итоги и наметить перспективы дальнейшего развития теории.
§ 1. Формулировка Уайтмана
Один из наиболее важных результатов аксиоматической формулировки
принадлежит Уайтману [852], который показал, что теория поля может быть
переформулирована в терминах средних по вакууму от произведений
операторов поля
W(n) (хи х2, ... хп) = (4%, ф (х4) ф (х2) . .. ф (хп) W0). (18.7)
Свойства функций Уайтмана прямо связаны с перечисленными выше постулатами
I — IV. Этим функциям можно придать точный математический смысл, и их
можно изучать строгим и лишенным какого-либо произвола образом. Важное
значение функций обусловлено тем, что, как показал Уайтман, задавая
